निरीक्षकाची स्थिती – गती चौकट आणि सहनिर्देशक पद्धती (Frame of reference and coordinate system)

Primary tabs

अनिकेत कवठेकर's picture
अनिकेत कवठेकर in तंत्रजगत
19 Sep 2017 - 10:08 am

राजा विक्रम आजही चिंतित होता. वेताळाला एवढी उत्तरे देऊन, एवढे तर्क लढवून तो शेवटी असा काही प्रश्न विचारतो आणि निसटतो. हे जसजसं खोल गहन होत होतं तसं ते अधिक गूढरम्यही वाटत होतं. खरोखरीच रोजच्या जगण्यातल्या किती गोष्टींना ही भुतं लपेटून असतात, किती ठिकाणी केवळ तर्क आणि निरीक्षण नसल्याने अंदाज बांधणं अवघड जातं, पण वस्तुनिष्ठ पणे सोप्यासोप्या गोष्टींच्या उकलीतून मग अधिक गहन गुंत्याकडे कसं जाता येतं याचा वस्तुपाठच जणू तो गिरवत होता. वेताळ हा एखाद्या पिशाच्चापणे आक्रस्ताळा न होता हुशार शिक्षकाप्रमाणे विचार करायलाही लावत होता आणि फिरकीही घेत होता. विस्थापन, वस्तुमान, वेग या वरकरणी सोप्या वाटणाऱ्या भुतांच्या पिल्लावळीपासून सुरूवात करून आता तो संवेग, बळ इत्यादि गुंतागुंतीच्या वेताळांकडे घेऊन निघाला होता.

“विक्रमा, थांब अजून पुढे जायला वेळ आहे.” वेताळच तो, विक्रमाच्या विचारांच्या लहरींना अचूक पकडत आणि नेहमीप्रमाणेच त्याच्या पाठीवर बसत तो म्हणाला, “राजा, तू आतापर्यंत मला अनेक मोजमापे सांगितलीस, अनेक सदीश राशींशी संबंधित गणितं सांगितलीस, ओढून नेण्याचा गोळा, डोंगरावरून खालपर्यंत गोळे सोडून वेग मोजणं, न्यूटनच्या नियमांमधील दिशांचे संदर्भ या सगळ्यात हा मोजणारा जो आहे तो नक्की कुठं उभा आहे? तो मोजणारा जर त्या मोजमापाच्या वेळी स्थिर नसला तर तुमचे संदर्भ, गणितं, मोजमापं तीच राहतील का?”

“वेताळा रुढार्थानं याच उत्तर देणे सोपं आहे, की होय निरीक्षकाच्या स्थिती, गती वर या वस्तूंच्या विस्थापन, वेग, त्वरण-मंदन, संवेग इत्यादि सदीशांचं सारं अवलंबून असतं कारण दिशा हीच मुळात एक निरीक्षक गृहित धरते. शिवाय तो निरीक्षक ज्या वस्तुंच्या वेगाची, विस्थापनाची मोजमापे करायची आहेत त्या वस्तूंच्या भवतालातच आहे हे सुद्धा गृहित धरते. उदाहरणार्थ एखाद्या वस्तूचं वजन मोजायचं असेल तर निरीक्षक तो वजनकाटा ज्या ठिकाणी आहे त्याच्या जवळच उभा आहे असे गृहित धरलं जातं. पृथ्वीवर वजन मोजलं जात असताना निरीक्षकही पृश्वीवरच आहे असं धरून चालावं लागतं, तो निरीक्षक स्थिर उभा आहे असं धरावं लागतं, त्या ठिकाणी पृथ्वीवरील ‘g’ ची किंमत आणि वजनकाटा जिथे आहे तिथली ‘g’ ची किंमत एकच आहे असं धरून चालावं लागतं. या सर्व गृहितकांना (assumptions) एकत्रितपणे निरीक्षकाची स्थिती-गती चौकट (Observer’s frame of reference) असे आपण म्हणतो. भौतिकशास्त्रातली मोजमापे करताना ही अदृश्य चौकट फारच महत्त्वाची आहे. ती दिसली नाही तर साऱ्याच मोजमापांचा बोजवारा उडेल.”

“आलास मूळपदावर? झाले तुझे शब्दांचे खेळ सुरू? काय तर म्हणे स्थिती गती चौकट? एखादे उदाहरण दे बरं, उगीच शब्दांचे मनोरे बांधू नकोस.”

“बर बर. उदाहरणच देतो. विस्थापन आणि अंतर मोजायच्या वरवर सोप्या वाटणाऱ्या प्रयोगाकडे पाहू. प्रयोग तसा साधाच आहे. वस्तू एका ठिकाणी होती ती दुसऱ्या ठिकाणी नेली. म्हणजेच आरंभीचं ठिकाण आणि शेवटचं ठिकाण. पण ही दोन्ही ठिकाणं निरीक्षकापासून किती लांब होती. अंतर मोजताना कसं मोजलं? निरीक्षकापासून आरंभीचं ठिकाण आणि निरीक्षकापासून शेवटचं ठिकाण मोजलं आणि मग फरक काढला का? त्यालाच अंतर म्हटलं का? म्हणजे दोन निरीक्षक वेगवेगळ्या ठिकाणी असले तर पुन्हा मोजलेलं अंतर वेगळे येणार का? अश्या साऱ्या शक्याशक्यतांमुळे मोजमापात फेरफार होऊ नयेत म्हणून काही उपायांचा विचार चालू होता.

यासाठीची मार्गदर्शक तत्वे वैशेषिकात तसेच न्यायशास्रात दिली आहेत. एकंदरितच परंपरागत भारतीय विचारधारेनुसार ज्ञान मिळवण्याचे चार योग्य पर्याय सांगितले आहेत : प्रत्यक्ष(perception), अनुमान(inference), उपमान(comparison and analogy) आणि शब्द (word, authoritative statements of knowledgeable person) हे ते चार मार्ग. (स्रोत: Physics in Ancient India: N.G. Dongre, S.G. Nene) वैशेषिक दर्शन तर या पैकी पाहिल्या दोन म्हणजे प्रत्यक्ष आणि अनुमान यांनाच संमती देते. यापैकी प्रत्यक्ष म्हणजे जाणीव किंवा ज्ञातेपणे पाहणे. हे पाहणे दोन प्रकारचे ज्ञानेंद्रियांच्या सहाय्याने रुप,रस,गंध इत्यादिंच्या आधारे इंद्रिय गोचर वस्तूची जाणीव होणे. दुसरी म्हणजे इंद्रियांना न जाणावणारी पण मनाला जाणवणाऱ्या गुणांच्या सहाय्याने अनुभव घेणे. योग्य जाणीव होण्यासाठी चार नियम घालून दिले आहेत:
• इंद्रियार्थसंनिकर्ष - ज्या वस्तूचा अभ्यास कारायचाय तिचा प्रत्यक्ष स्वत:च्या इद्रियांनी प्रत्यक्ष अनुभव घेणे.
• अव्यपदेश्य - ऐकीव माहितीवर आधारित राहू नये. स्वत:च्या अनुभवावरच विसंबावे
• अव्यभिचार – अनुभावावर आधारित निरीक्षण बदलत नाही
• व्यवसायात्मक – निश्चित आणि परिमाणित. योग्य निरीक्षणात कोणत्याही शंकाकुशंकेला जागा नसते कारण सर्व तपशील योग्य पद्धतीने नोंदवलेला असतो.
यावरून स्पष्टच दिसते की पहाणाऱ्याने स्वत: प्रयोग करणे, स्वतंत्रबुद्धी व प्रत्यक्ष निरीक्षण यांचाच आधार घेत निष्कर्षाला येणे प्राचीन भारतीय वैशेषिकांना अपेक्षित होते. आधुनिक विज्ञानातही याच विचारधारेचे प्रतिध्वनी उमटलेले दिसतात. वैशेषिकांनी द्रव्याचे खालील नऊ प्रकार सांगितले आहेत:

पृथिव्यापस्तेजो वायुराकाशं कालो दिगात्मा मन इति द्रव्याणि |(वैशेषिक दर्शन १-२-५)

अर्थात पृथ्वी(solid), आप(liquid), तेज(energy), वायु(gases), आकाश(plasma), काल(time), दिक्(space), आत्मा, मन ही द्रव्ये आहेत. यापैकी पृथ्वी, आप, वायु, तेज, आकाश यांनी बनलेली द्रव्ये ही विशिष्ट दिक्(space) आणि काल(time) व्यापतात. म्हणून त्यांना भूते किंवा पंचमहाभूते म्हटले आहे. म्हणून त्या पंचमहाभूतांच्या मापासाठी काल(time) आणि दिक्(space) या पहिल्या मोजपट्ट्या आल्या. त्यापैकी काहींना वस्तुमानही होते. तेही मोजणं आलं.”

“भरकटू नकोस. सध्या दिक् आणि कालाविषयीच बोलू. पण काय रे, काल व दिक् यांच्याच मापात का तोलायचं?”

“याचं कारण असं आहे वेताळा की दिक् व काल हे अनंत आहेत. शिवाय पंचभूते या दिक् व कालाशिवाय आकारालाच येऊ शकत नाहीत. असो तर हा झाला वैशेषिक विचार....

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

...आधुनिक वैज्ञानिक विचाराचीही दिशा तिच असली तरीही नंतर नंतर त्या मोजमापात अधिकाधिक स्पष्टता येऊ लागली. त्यात १७ व्या शतकातील फ्रेंच गणितज्ञ रेने देकार्त ने शोधलेल्या ‘कार्टेशियन सहनिर्देशकांची’(Cartesian coordinates) मोलाची मदत झाली.”
“गणितज्ञाने शोधलेल्या गोष्टीची भौतिकशास्त्रात मदत झाली? ती कशी काय? तुम्ही माणसं जरा विचित्रच असता तुमच्या सोयीसाठी तुम्ही कशाचाही संबंध कुठेही जोडता. हे सहनिर्देशक तुमच्या कामाला कशे आले?”

“तू म्हणतोस ते बरोबरच आहे. मोजमापाच्या सोयीसाठीच हा सर्व खटाटोप आहे. कुठल्याही ठिकाणाबद्दल माहिती देताना जसं आपण तिथल्या जवळच्या खुणांच्या आधारे सांगतो की राजवाड्या पासून तोफखान्या पर्यंत जा आणि मग तिथून डावीकडे वळून सरळ अश्वशाळेपर्यंत जा. त्या जवळच हे ठिकाण आहे वगैरे. तसंच या सहनिर्देशांक पद्धतीचं आहे. जसा आपल्या उदाहरणात आपण सर्वांना माहित असणाऱ्या राजवाड्या पासून सुरुवात केली तसाच या पद्धतीत ० हा आरंभबिंदू धरला. याठिकाणी उभं राहून समोरचा पूर्ण परिसर हा एक अतिविशाल, अमर्याद चौरस (Square) आहे असं गृहित धरलं आणि त्या चौरसाचा एक शिरोबिंदू म्हणजेच ० बिंदू धरला. आता आपल्यासमोर एक अमर्यादित आकाराचा चौरस आहे. ० बिंदूपाशी या चौरसाच्या ज्या दोन बाजू आहेत त्यांपैकी उजवीकडे जाणारी ला x अक्ष (axis) म्हणूया आणि त्यातील दुसऱ्या बाजूला y अक्ष म्हणूया. आता आपल्या मोजण्याच्या सोयीसाठी या अमर्याद चौरसाचे समसमान तुकडे करूया. त्यासाठी एक अदृश्य तलवार घेऊन आधी x अक्षाला ती समांतर धरा व तशीच पुढे पुढे नेत समान अंतरावर तुकडे करा. गंमतीचा भाग म्हणजे तुमचा y अक्ष कापला जाईल व त्यावर सारख्या अंतरावरील बिंदूंची पंगत बसेल. हीच गोष्ट आता ती तलवार y अक्षाला समांतर धरून करा. X अक्ष कापला जाईल व त्यावर समानांतर बिदूंची पंगत बसेल. हे असं उलटसुलट वाटतंय थोडसं. पण त्याचाही उलगडा होईल. पण आता तुमचा कार्टेशियन निर्देशकांचा आराखडा तयार झाला. तुझ्यासारख्या आकाशात उडणाऱ्या वेताळाने तो पाहिला तर तो असा दिसेल.(आकृती १)”
akruti 1

असं एकदा निश्चित झालं की मग कोणीही मोजमाप केले तरीही ते सारखंच येणार. उदाहरणार्थ एका स्पर्धकाने ओंडका आरंभबिंदूपासून ओढत नेला आणि क या ठिकाणी टाकला तर तो ओंडका किती अंतर गेला? (आकृती २)
akruti2
आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे तो ओंडक्याने कापलेले अंतर कुठल्याही मार्गाने मोजले तरीही त्याचे शेवटचे सहनिर्देशक हे x = 10 , y = 9 असेच असणार आहेत. पायथागोरसच्या सिद्धांतानुसार हे अंतर म्हणजे x आणि y यांच्या वर्गांच्या बेरजेचे वर्गमूळ असते. गणिती भाषेत (अंतर)२ = (x)२ + (y)२ = (१०)२ + (९)२ = १८१. शेवटी अंतर हे अंदाजे १३ इतके येते.

“अरे विक्रमा पण हे सारं पुन्हा मोजमापाचंच बोलतोयस. पण हा निरीक्षक धावत असला किंवा स्थिर बसला असेल तर वेग वगैरे मोजमापांचे काय होते ते तू सांगतच नाहीयेस?”

“वेताळा, वेगाचं मोजमाप जरी नाही केलं तरीही एका वस्तूचा वेग आणि त्याच्या तुलनेत दुसऱ्या वस्तुचा वेग पाहताना निरीक्षक स्थिर आहे, किंवा त्या दोन्हींतील कोणत्याही एका वस्तूवर बसला आहे यावर त्याला जाणवणारा वेग बदलतो. असं पहा, साधं उदाहरण. मी जमिनीवर झाडाशेजारी उभा आहे. मी स्थिर म्हणून झाड ही स्थिर. तू वरून उडत जाताना तेच झाड पाहिलंस. तर तुला ते झाड जवळ येताना किंवा दूर जाताना दिसेल. निरीक्षकांच्या या स्थिती-गतींमुळेच या चौकटींचेही दोन प्रकार पडतात – स्थिर असणारी वा एकसमान वेगाने जाणारी अशी जडत्वभारित चौकट (Inertial Frame of Reference). त्याच्या उलट म्हणजे अस्थिर किंवा वेगात बदल होत राहणारी ती जडत्त्वरहित चौकट (Non-inertial Frame of Reference). जडत्वभारित चौकटीत वेगबदल नसल्याने काम करणारे एकूण परिणामी बल (Resultant Force) शून्य आहे असे आपण म्हणू शकतो. जडत्वरहित चौकटीत वेगबदल असल्याने त्यावर काही एक परिणामी बल कार्य करत असते. ”

“राजा तुला खोडच आहे शब्दच्छल करण्याची. उदाहरण दे, उदाहरण.”

“बर, बर. हे पहा समजा आमच्या राजमार्गावरून एक हत्ती शांतपणे झुलत झुलत ५.५ मी/सेकंद वेगाने महालाच्या डावीकडून उजवीकडे निघाला आहे. त्याच्याच १ किलोमीटर मागे एक घोडागाडी १६.७ मी/सेकंद वेगाने दौडत येत आहे. या घोडागाडीच्या साथीने एक स्वार तितक्याच वेगाने दौडत आहे. उलट एक हत्ती वेगाने दौडत राजमहालाच्या उजवीकडून डावीकडे १३.७ मी/सेकंद वेगाने जात आहे. (आकृती ३)”
akruti3

आता यात निरीक्षक कुठे असेल त्यावर या सर्वांचा त्याला जाणवणारा वेग ठरेल. उदाहरणार्थ निरीक्षक १ राजवाड्यावर असेल तर त्याची गती शून्य असेल, म्हणजेच तो जडत्वभारित चौकटीत (Inertial Frame of Reference) असेल. त्याला जाणवणारी सर्वांची गती वर दिलेल्या प्रमाणेच असेल. (आकृती ४)
akruti4

आता निरीक्षक २ हा घोड्यावर बसला आहे असे समजू. घोडा हा ६० किमी/तास या एकसमान वेगाने चालला असल्यामुळे त्याला वेगबदलाचा सामना करावा लागणार नाही. म्हणून तोही जडत्तवभारित चौकटीतच आहे. त्याचा आणि रथाचा वेग सारखाच असल्यामुळे त्याला रथाचा वेग जाणवणार नाही. त्याने हत्तीला पाहिले असता हत्तीचा वेग त्यापेक्षा कमी असल्यामुळे हत्ती स्थिर असून मागे पडत आहे असे त्याला वाटेल. राजवाडा तर एका जागी स्थिरच आहे. त्यामुळे तिथपर्यंत पहोचेपर्यंत तो जवळ येत असल्या सारखे व त्यानंतर तो वेगाने मागे जात चालल्या सारखे वाटेल.

निरीक्षक ३ हा झुलत जाणाऱ्या हत्तीवर बसला आहे. त्याचा वेग एकसमान असल्यामुळे तोही जडत्तवभारित चौकटीतच आहे. त्याच्या उजवीकडून घोडा व रथ जात असताना त्यांचा वेग वाढत असल्यासारखे त्याला वाटेल. शिवाय त्यांचा वेग एकसमान असल्यामुळे घोडा आणि रथ एकत्रच चालल्या सारखे त्याला वाटेल. उलटीकडून येणाऱ्या गजराजाचा वेग कमी जास्त होत असला तरीही याला जाणवणाऱ्या चढ-उतारांचे मान कमी असेल. (आकृती ५)
akruti5
निरीक्षक ४ मात्र समोरून येत आहे. हत्तीचा वेग कमी जास्त होत असल्यामुळे त्याची चौकट जडत्वरहित (Non-inertial or accelerated frame of reference) प्रकारची असेल. त्याला जाणवणारे वेग हे वेगळे असतील. त्याच्या त्वरण मंदनाची माहिती असल्या शिवाय त्याला जाणवणारे इतर प्राण्यांच्या वेगांचा अंदाज बांधणेही अशक्य आहे. पहिल्या ३ निरीक्षकांच्या चौकटीला न्यूटनचा पहिला गतनियम लागू पडतो. चौथ्या निरीक्षकाला मात्र नाही.
“राजा फारच मोठे पुराण सांगितलेस बुवा. पण मी म्हणतो की या परिणामी बलाची मात्र तू काहीच माहिती देत नाहीस. परिणामी बल ही काय नवीन भानगड आहे? किती रे घोळ घालतोस तू? मात्र माझी वेळ झाली. मी निघालो. हाऽहाऽऽहाऽऽऽ ”

विक्रमाचा खिन्न चेहरा पाहून आभाळ स्तब्ध झाले. शांत तळ्यावर चंद्रकिरण बहुधा चंदेरी नोंदी करण्यात मग्न होते.
किनाऱ्यावर रुतून बसलेल्या किंवा एकसमान गतीने सरळ जाणाऱ्या नावेत असते ती जडत्वभारित चौकट (Inertial Frame)
खळाळणाऱ्या, रूद्र प्रपातात हेलकावे खाणाऱ्या किंवा वादळात भेलकांडत जाणाऱ्या, गटांगळ्या खाणाऱ्या नावेत असते ती जडत्वरहित चौकट (Non-inertial frame)
सर्वांना समान निरीक्षणे नोंदवता यावीत म्हणून x अक्ष आणि y अक्ष या सहकाऱ्यांच्या समन्वयाने चाललेली यंत्रणा म्हणजेच कार्टेशियन सहनिर्देशन पद्धती (coordinate system).

(क्रमश:)

सर्व लेख एका ठिकाणी पाहण्यासाठी ब्लॉग येथे पहा: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात

प्रतिक्रिया

कंजूस's picture

19 Sep 2017 - 11:29 am | कंजूस

नक्की काय?
हे सर्व त्या जुन्या ग्रंथात आहे का?

अनिकेत कवठेकर's picture

19 Sep 2017 - 11:53 am | अनिकेत कवठेकर

"याचं कारण असं आहे वेताळा की दिक् व काल हे अनंत आहेत. शिवाय पंचभूते या दिक् व कालाशिवाय आकारालाच येऊ शकत नाहीत. असो तर हा झाला वैशेषिक विचार. आधुनिक वैज्ञानिक विचाराचीही दिशा तिच असली तरीही नंतर नंतर त्या मोजमापात अधिकाधिक स्पष्टता येऊ लागली. त्यात १७ व्या शतकातील फ्रेंच गणितज्ञ रेने देकार्त ने शोधलेल्या ‘कार्टेशियन सहनिर्देशकांची’(Cartesian coordinates) मोलाची मदत झाली."

गामा पैलवान's picture

19 Sep 2017 - 11:40 am | गामा पैलवान

अनिकेत कवठेकर,

या गोष्टी मराठीतनं सांगता येतीलसं वाटलं नव्हतं. डोंगरे मास्तरांचे शिष्य आहात की काय? मानाचा मुजरा घ्या राव.

आ.न.,
-गा.पै.

जाताजाता : कोऑर्डिनेट्सला सहनिर्देश हा प्रतिशब्द फारंच चपखल आहे.

अनिकेत कवठेकर's picture

19 Sep 2017 - 11:59 am | अनिकेत कवठेकर

मला आजकालच कळले त्यांच्याविषयी..ते २००९ सलीच देवाघरी गेले..पण हो मी त्यांचे सहलेखक S G नेने यांना भेटलो आहे

ओरायन's picture

20 Sep 2017 - 10:44 am | ओरायन

आपली मराठीत सांगायची शैली आवडली . माहिती उत्तम .

अनिकेत कवठेकर's picture

21 Sep 2017 - 10:40 am | अनिकेत कवठेकर

कळावे
अनिकेत कवठेकर

अमितदादा's picture

20 Sep 2017 - 11:52 am | अमितदादा

छान लेख याच लेखाची वाट पाहत होतो.

पहिल्या ३ निरीक्षकांच्या चौकटीला न्यूटनचा पहिला गतनियम लागू पडतो. चौथ्या निरीक्षकाला मात्र नाही.

बरोबर. पण न्यूटन बाबांचा दुसरा नियम सुद्धा noninertial frame of reference ला डायरेक्ट लागू होत नाही. तो लागू करण्यासाठी आपल्याला काही अदृश्य फोर्स (fictitious forces) ची मदत घ्यावी लागते. उदरणार्थ centrifugal फोर्सस. परंतु fictitious फोर्सस वापरून आपण न्यूटन चा दुसरा नियम noninertial फ्रेम ऑफ रेफेरेन्स ला वापरू शकत असल्याने enginering मधले अनेक प्रॉब्लेम सोपे होतात, उदरणार्थ: rotor dynamics.
न्यूटन बाबांचा तिसरा नियम मात्र noninertial फ्रेम ऑफ रेफेरेन्स ला लागू होत नाही, करण fictitious फोर्सस कोणतेही reaction देत नाहीत.
आणखी एक पृथ्वी ला आपण inertial फ्रेम ऑफ रेफेरेन्स पकडून न्यूटन चे नियम सर्वत्र वापरतो परंतु खरे पहायला गेल्यास पृथ्वी हे rotating फ्रेम ऑफ रेफेरेन्स आहे म्हणजे noninertial फ्रेम ऑफ रेफेरेन्स, परंतु आपण पृथ्वी चे रोटेशन मुळे होणारे त्वरण शून्य मानून पृथ्वी ला inertial फ्रेम ऑफ रेफेरेन्स मानतो।
चुकल्यास दुरुस्त करावे।

गामा पैलवान's picture

20 Sep 2017 - 12:16 pm | गामा पैलवान

अमितदादा,

पृथ्वी ही जडत्वीय चौकट मानण्याबद्दल तुमच्याशी सहमत आहे. पृथ्वीच्या परिवलनामुळे निर्माण होणाऱ्या बलांना कोरियॉलिस फोर्स म्हणतात. हा फोकाच्या लंबकाने मोजता येतो.

आ.न.,
-गा.पै.

वात्रटवार्ता : आम्ही कॉलेजात असतांना फुकाच्या लंबकास फोकाट्याचा पेंडू म्हणंत असू!

अनन्त्_यात्री's picture

20 Sep 2017 - 1:43 pm | अनन्त्_यात्री

आमच्या कॉलेजात फुकाच्या लंबकास फुकट्याचा लोंबत्या म्हटलं जायचं.

अनिकेत कवठेकर's picture

21 Sep 2017 - 10:49 am | अनिकेत कवठेकर

पण संकल्पना त्याहूनही भारी आहे..नवीन खुराक मिळाला डोक्याला :)

अनिकेत कवठेकर's picture

21 Sep 2017 - 10:45 am | अनिकेत कवठेकर

बरोबर आहे तुमचं. जरा तुमची टिपण्णी नीट वाचून लेख संपादित करतो .

सिरुसेरि's picture

6 Oct 2017 - 6:31 pm | सिरुसेरि

assume suitable values wherever necessary