Skip to main content

(a^2 + b^2) =???

लेखक जव्हेरगंज यांनी रविवार, 10/01/2016 13:31 या दिवशी प्रकाशित केले.

मला एक कोडं सुचलंय. खरंतर अकरावीलाच सुचलं होतं आणि तेव्हाच सोडवलं होतं. पहा तुम्हाला जमतयं का?

जर
(a चा वर्ग - b चा वर्ग) =(a+b)(a-b)

असा होतो

तर

(a चा वर्ग + b चा वर्ग) =???

कसा कराल?

its pure mathematics & may be little bit logic . nothing else.

लेखनविषय:
लेखनप्रकार
वाचने 16744
प्रतिक्रिया 52

प्रतिक्रिया

जव्हेरगंज रविवार, 10/01/2016 13:54

राजेशजी तुमचा प्रयत्न आवडला, त्याने ऊत्तरही बरोबर येऊ शकते.

पण कॉम्लेक्स i, न वापरता पण उत्तर येऊ शकते :)

जव्हेरगंज रविवार, 10/01/2016 14:35

हैला,
लगेच सोडवलतं

तसं म्हटलं तर राजेशजी आणि तुमचं दोघांचही उत्तर बरोबरच आहे.

:)

जव्हेरगंज रविवार, 10/01/2016 15:33

दोन कंसामधला गुणाकार हवा आहे. factorization म्हणतात बहुदा त्याला.
तेव्हा तुमचे उत्तर बाद.

जव्हेरगंज सोमवार, 11/01/2016 19:41

a^2+b^2=(a+b)^2 -2ab

खरंतर यावरुनच पुढचं उत्तर काढता येतं!

a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab

= (a+b)^2 - (sqrt(2ab))^2

= (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))

:)

संदीप डांगे रविवार, 10/01/2016 22:01

काही हां बापुसायेब, गणितज्ञापेक्षा शिपायास्नी जास्त चांगलं गणित यायले पायजे, जीवावरचं काम है ते असं आमाले वाट्टे बॉ...

मुक्त विहारि सोमवार, 11/01/2016 10:45

उलट आहे....

आपल्यासारखे शिपाई आहेत, म्हणुनच भारतातील गणितज्ञांचे डोके सलामत आहे....

अर्थ (व्यापार), उत्तम विचारसरणी, रक्षक आणि मन लावून काम करणारे कामगार, ह्या चारही अंगांनी देश बलवान होतो.

कुणीही एकमेकांशिवाय कमी नसतो.ह्यातले एखादे अंग जरी कमकुवत असेल तरी देश रसातळाला जातो.

मुक्त विहारि सोमवार, 11/01/2016 11:13

उलट आहे....

आपल्यासारखे शिपाई आहेत, म्हणुनच भारतातील गणितज्ञांचे डोके सलामत आहे....

अर्थ (व्यापार), उत्तम विचारसरणी, रक्षक आणि मन लावून काम करणारे कामगार, ह्या चारही अंगांनी देश बलवान होतो.

कुणीही एकमेकांशिवाय कमी नसतो.ह्यातले एखादे अंग जरी कमकुवत असेल तरी देश रसातळाला जातो.

गामा पैलवान सोमवार, 11/01/2016 18:56

मुक्त विहारि,

शेवटल्या वाक्याशी शंभर टक्के सहमत !

तसंही पाहता प्रत्येकजण काहीनाकाही गणितं करंत असतोच. माझ्यासारखी लोकं फक्त ती अंकांमध्ये मांडतात. इतकंच. :-)

आ.न.,
-गा.पै.

जव्हेरगंज शनिवार, 16/01/2016 17:08

वरचीच पद्धत अवलंबून....

a^2 + b^2 + c^2=

=(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))+c^2

=[sqrt[ (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))]]^2+c^2

= [(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))+c+sqrt{ (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))c}] [(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))+c-sqrt{ (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))c}]

हे आमचे साधेसोपे उत्तर!
:)

जव्हेरगंज शनिवार, 16/01/2016 17:11

वरचीच पद्धत अवलंबून....

a^2 + b^2 + c^2=

=(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))+c^2

=[sqrt[ (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))]]^2+c^2

= [(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))+c+sqrt{2 (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))c}] [(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))+c-sqrt{ 2(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))c}]

हे आमचे साधेसोपे उत्तर!
:)

श्रीगुरुजी रविवार, 17/01/2016 20:40

हे फारच मोठे उत्तर आहे. दोन कंसांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात याचे साधे उत्तर असे आहे.

a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c + sqrt { 2 * [ab + bc + ca] } ) * (a + b + c - sqrt { 2 * [ab + bc + ca] } )

इथे एक महत्त्वाची अट आहे. ती म्हणजे ab + bc + ca must be >= 0. अन्यथा वर्गमुळाच्या आत ऋण संख्या आल्याने उत्तर गुंतागुंतीच्या (किंवा काल्पनिक) अंकाच्या स्वरूपात येईल.

a^2 + b^2 चे उत्तर होते ( a + b + sqrt(2ab) )( a + b - sqrt(2ab) )

a^2 + b^2 + c^2 चे उत्तर आहे (a + b + c + sqrt { 2 * [ab + bc + ca] } ) * (a + b + c - sqrt { 2 * [ab + bc + ca] } )

त्यामुळे एकूण N अंकांच्या वर्गांच्या बेरजेचे अवयव म्हणजेच a1^2 + a2^2 +a3^2 + ...... + aN^2 चे अवयव असे असतील.

(a1 + a2 + a3 + .... + aN + + sqrt { 2 * [(a1a2 + a1a3 + ... + a1aN) + (a2a3 + a2a4 + ... + a2aN) + (a3a4 + a3a5 + ... + a3aN) + ..... + (aN-2aN-1 + aN-2aN) + (aN-1aN)] } ) * (a1 a2 + a3 + .... + aN + + sqrt { 2 * [(a1a2 + a1a3 + ... + a1aN) + (a2a3 + a2a4 + ... + a2aN) + (a3a4 + a3a5 + ... + a3aN) + ..... + (aN-2aN-1 + aN-2aN) + (aN-1aN)] } )

where a1a2 + a1a3 + ... + a1aN) + (a2a3 + a2a4 + ... + a2aN) + (a3a4 + a3a5 + ... + a3aN) + ..... + (aN-2aN-1 + aN-2aN) + (aN-1aN) must be >= 0.

श्रीगुरुजी रविवार, 17/01/2016 20:43

शेवटच्या उतरात चुकून '-' ऐवजी '+' पडलेला आहे. योग्य उत्तर असे हवे.

(a1 + a2 + a3 + .... + aN + + sqrt { 2 * [(a1a2 + a1a3 + ... + a1aN) + (a2a3 + a2a4 + ... + a2aN) + (a3a4 + a3a5 + ... + a3aN) + ..... + (aN-2aN-1 + aN-2aN) + (aN-1aN)] } ) * (a1 a2 + a3 + .... + aN - sqrt { 2 * [(a1a2 + a1a3 + ... + a1aN) + (a2a3 + a2a4 + ... + a2aN) + (a3a4 + a3a5 + ... + a3aN) + ..... + (aN-2aN-1 + aN-2aN) + (aN-1aN)] } )

जव्हेरगंज रविवार, 17/01/2016 21:18

मस्त हो गुरुजी!

इंटरेस्टींग माहीती मिळाली!

वही पेन घेऊन सोडवले असते तर कदाचित मलाही जमले असते ;-)

गामा पैलवान रविवार, 17/01/2016 05:41

श्रीगुरुजी,

जर s = a² + b² + c² हे एक वन बाय वन म्याट्रिक्स धरलं तर त्याचे अवयव खालीलप्रमाणे पाडता येतील :

[ s ] = [X]·[X']

where [ X ] = [ a b c ]

[X] हा त्रिमितीय बाण अर्थात 3D row vector आहे.
[X'] साहजिकंच त्रिमितीय स्तंभ म्हणजे 3D column vector होतो.

आ.न.,
-गा.पै.

श्रीगुरुजी सोमवार, 18/01/2016 14:16

जर s = a² + b² + c² हे एक वन बाय वन म्याट्रिक्स धरलं तर त्याचे अवयव खालीलप्रमाणे पाडता येतील :

त्याऐवजी a, b आणि c हे एका ३-degree polynomial ची ३ roots आहेत असे गृहीत धरले तर, polynomial च्या नियम व सूत्रांनुसार,

सिग्मा-१ = a + b + c
सिग्मा-2 = ab + bc + ca
आणि S2 म्हणजेच roots च्या वर्गांची बेरीज = a² + b² + c² = (सिग्मा-१)^२ - (२ * सिग्मा-2)

म्हणून S2 = (सिग्मा-१ + sqrt (२ * सिग्मा-2)) * (सिग्मा-१ - sqrt (२ * सिग्मा-2)) असे S2 चे अवयव पडतात. या समीकरणात सिग्मा-१ व सिग्मा-२ च्या जागी वरील किंमती टाकल्यास खालील अंतिम उत्तर मिळते.

S2 = a² + b² + c² = (सिग्मा-१)^२ - (२ * सिग्मा-2) = (सिग्मा-१ + sqrt (२ * सिग्मा-2)) * (सिग्मा-१ - sqrt (२ * सिग्मा-2)) = ((a + b + c) + sqrt (२ * ab + bc + ca)) * ((a + b + c) - sqrt (२ * ab + bc + ca))

polynomial मधील वर दिलेले S2 चे सूत्र वापरून कितीही अंकांच्या वर्गांच्या बेरजेचे दोन कंसांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात अवयव पाडता येतात.

गामा पैलवान रविवार, 17/01/2016 15:31

आत्मूगुरुजी, काय करणार आता ! श्रीगुरुजी तुमच्यासारखेच गुरुजी पडले. कशाचेही अवयव काढायला लावतात. (या वाक्यावर फार वेळ विचार करू नये! ;-))

मग आम्हाला कीस पाडावा लागतो आणि त्या किसाच्या गोळ्या फ्याक्टर म्हणून सादर करायच्या. एक प्रकारचे शास्त्राधार शोधणेच म्हणा ना याला !

आ.न.,
-गा.पै.

श्रीगुरुजी रविवार, 24/01/2016 21:11

याचे एक उत्तर असे आहे.

a4 + b4 + a2b2
= (a^2)^2 + (b^2)^2 + 2*a^2b^2 - (a*b)^2
= (a^2 + b^2)^2 - (a*b)^2
= (a^2 + b^2 - a*b) * (a^2 + b^2 + a*b)
= (a^2 + b^2 - 2*a*b + a*b) * (a^2 + b^2 + 2*a*b - a*b)
= ((a - b)^2 + a*b)) * ((a + b)^2 - a*b)

याचे दुसरे उत्तर पूर्वी दिलेल्या ३ संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेच्या समीकरणाच्या अवयवानुसार काढता येते कारण वरील संख्या ३ संख्यांच्या वर्गांच्या स्वरूपात अशी लिहिता येते = a4 + b4 + a2b2 = (a^2)^2 + (b^2)^2 + (a*b)^2

म्हणून,

(a^2)^2 + (b^2)^2 + (a*b)^2
= (a^2 + b^2 + a*b + sqrt { 2 * [a^2*b^2 + a*b^3 + a^3*b] } ) * (a + b + c - sqrt { 2 * [a^2*b^2 + a*b^3 + a^3*b] } )

श्रीगुरुजी सोमवार, 25/01/2016 20:49

हेच उत्तर अजून एका पद्धतीने काढता येते.

Let S = a^4 + b^4 + (a^2)*(b^2)

Therefore, S = a^4 + (a^2)*(b^2) + b^4 (by rearranging 2nd and 3rd term)

There are 3 terms in S which are a^4, (a^2)*(b^2), b^4 in order.

These 3 consecutive terms form a G.P. (Geometric Prgression) because,

the ratio of 2nd term to 1st term = the ratio of 3rd term to 2nd term
2nd term/1st term = (a^2)*(b^2)/(a^4) = (b^2/a^2) and
3rd term/2nd term = b^4/{(a^2)*(b^2)} = (b^2/a^2)

Therefore 2nd term/1st term = 3rd term/2nd term and therefore these 3 terms form a G.P.,
having First Term = a^4 and Common Ratio (C.R.) = (b^2/a^2)

म्हणून G.P. तील ३ टर्म्सच्या बेरजेचे सूत्र वापरून,

S = (first Term) * ((C.R.)^n - 1)/(C.R. - 1) where n = 3 = total no. of terms in the G.P.

Therefore,

S = (a^4) * {(b^2/a^2)^3 - 1} / {(b^2/a^2) - 1}

S = (a^4) * {(b^6 - a^6)/(a^6)} / {(b^2 - a^2)/(a^2)}

क्रॉस प्रॉडक्ट घेऊन व सुलभीकरण करून,

S = {(b^3 + a^3) * (b^3 - a^3)} / {(b + a) * (b - a)}

अंशाचे अवयव पाडून,

S = [{(b + a) * (b^2 + a^2 - a*b)} * {(b - a) * (b^2 + a^2 + a*b)}] / {(b + a) * (b - a)}

Therefore finally,

S = (b^2 + a^2 - a*b)} * (b^2 + a^2 + a*b)

गामा पैलवान मंगळवार, 26/01/2016 04:22

हे असं कसं सुचू शकतं कोणाला! जीपी पार विसरून गेलो होतो.
-गा.पै.

श्रीगुरुजी रविवार, 24/01/2016 21:27

शेवटच्या ओळीत एक चोप्यपस्ते चूक आहे. बरोबर उत्तर असे हवे.

(a^2)^2 + (b^2)^2 + (a*b)^2
= (a^2 + b^2 + a*b + sqrt { 2 * [a^2*b^2 + a*b^3 + a^3*b] } ) * (a + b + a*b - sqrt { 2 * [a^2*b^2 + a*b^3 + a^3*b] } )

श्रीगुरुजी मंगळवार, 26/01/2016 13:05

जीवशास्त्र आणि आमचे विळ्याभोपळ्याचे संबंध होते. त्यामानाने गणितात तरून जायचो. कितीही प्रयत्न केला तर प्राणीशास्त्र आणि वनस्पतीशास्त्र विषयात कधीही दोन अंकी गुण मिळविता आले नाहीत. त्यामुळे पहिली संधी मिळताच या अहीमहींना रामराम ठोकला.