काही विभाज्यतेच्या कसोट्या

क
क्लिंटन यांनी
 ·  लेख
लेख
नमस्कार मंडळी, या लेखाचा विषय आहे विभाज्यतेच्या कसोट्या. २/३/५/९/१० या संख्यांनी एखाद्या संख्येला पूर्ण भाग जातो का याविषयीच्या विभाज्यतेच्या कसोट्या सगळ्यांनाच माहित असतात.पण त्यापुढे जाऊन ७/११/१३/१७ यासारख्या संख्यांच्या विभाज्यतेच्या कसोट्या हा या लेखाचा विषय आहे. या कसोट्या वापरता येण्यासाठी पाढे पाठ असणे गरजेचे आहे.या कसोट्या अत्यंत प्रभावी असून मोठ्या मोठ्या संख्यांना दाती तृण धरून शरणागती पत्करायला लावायली क्षमता या कसोट्यांमध्ये आहे. या सगळ्या विभाज्यता कसोट्यांचे स्वरूप सारखेच आहे.या कसोट्यांमध्ये प्रथम दिलेल्या संख्येचे दोन भाग करावेत.पहिल्या भागात दिलेल्या संख्येच्या एकम स्थानची संख्या आणि दुसऱ्या भागात उरलेले सगळे आकडे.उदाहरणार्थ दिलेली संख्या ४२८ असेल तर पहिल्या भागात एकम स्थानची संख्या (म्हणजे ८) आणि दुसऱ्या भागात उरलेले सगळे आकडे (म्हणजे ४२) अशी विभागणी होईल. ७ ची विभाज्यता कसोटी: दिलेल्या संख्येतील एकम स्थानच्या संख्येला (म्हणजे पहिल्या भागाला) पाचने गुणावे आणि आलेला गुणाकार दुसऱ्या भागात (म्हणजे एकम स्थान सोडून इतर सगळे आकडे) मिळवावा. मिळालेल्या बेरजेला जर ७ ने भाग जात असेल तर दिलेल्या संख्येलाही ७ ने भाग जातो. उदाहरणार्थ २३८ या संख्येला ७ ने भाग जातो. तेव्हा एकम स्थानच्या संख्येला (८) ला पाचने गुणावे (८ गुणिले ५=४०) आणि दुसऱ्या भागात हा गुणाकार मिळवावा. (२३+४०=६३). या बेरजेला (६३ ला) ७ ने पूर्ण भाग जातो. म्हणजेच दिलेल्या संख्येला (२३८) ला पण ७ ने पूर्ण भाग जातो.जर बेरीज ३/४/५ आकडी किंवा अजूनही मोठी असेल तर ती दोन आकडी स्वरूपात येईपर्यंत हीच प्रक्रिया चालू ठेवावी. उदाहरणार्थ: १९६७७ या संख्येला ७ ने भाग जातो याचा पडताळा करू-- पहिली पायरी: १९६७+ (७ गुणिले ५)= २००२. म्हणजेच २००२ ला जर ७ ने भाग जात असेल तर १९६७७ ला पण जाईल. दुसरी पायरी: २०० + (२ गुणिले ५) = २१०. तिसरी पायरी: २१ + (० गुणिले ५) = २१. २१ ला ७ ने भाग जातो म्हणून २१०,२००२ आणि १९६७७ या संख्यांनाही ७ ने पूर्ण भाग जातो. सातची विभाज्यता कसोटी दुसऱ्या मार्गानेही लिहिता येईल.दिलेल्या संख्येतील एकम स्थानच्या संख्येला (म्हणजे पहिल्या भागाला) दोनने गुणावे आणि दुसऱ्या भागातून आलेला गुणाकार वजा करावा. मिळालेल्या संख्येला जर ७ ने भाग जात असेल (किंवा ती शून्य असेल) तर दिलेल्या संख्येलाही ७ ने भाग जातो. परत एकदा--- दिलेली संख्या: १९६७७ पहिली पायरी: १९६७ - (७ गुणिले २) = १९५३ दुसरी पायरी: १९५ - (३ गुणिले २) = १८९ तिसरी पायरी: १८ - (९ गुणिले २) = ० म्हणूनच १८९, १९५३ आणि १९६७७ या संख्यांना ७ ने पूर्ण भाग जातो. तेव्हा सातच्या विभाज्यता कसोटीसाठी पाच आणि दोन या संख्या महत्वाच्या झाल्या. यातील ५ ला आपण Positive seed number म्हणू (कारण एकम स्थानला आपण +५ ने गुणून तो गुणाकार उरलेल्या भागात मिळवतो) आणि २ ला आपण Negative seed number म्हणू (कारण एकम स्थानला आपण -२ ने गुणून तो गुणाकार उरलेल्या भागात मिळवतो). आता इतर विभाज्यतेच्या कसोट्यांसाठीचे Positive seed number आणि Negative seed number लिहितो. या सीड नंबरचा वापर करून विभाज्यतेच्या कसोट्या पडताळून बघता येतील. ३ ची विभाज्यता कसोटी: Positive seed number: १, Negative seed number: २ ९ ची विभाज्यता कसोटी: Positive seed number: १, Negative seed number: ८ ११ ची विभाज्यता कसोटी: Positive seed number: १०, Negative seed number: १ १३ ची विभाज्यता कसोटी: Positive seed number: ४, Negative seed number: ९ १७ ची विभाज्यता कसोटी: Positive seed number: १२, Negative seed number: ५ आता हे वाचून वाचकांना नक्कीच प्रश्न पडेल की हे सीड नंबर्स लक्षात ठेवण्यापेक्षा सरळ भागाकार करणेच सोपे.तेव्हा हे सीड नंबर generate करायची काही पध्दत आहे का? नक्कीच आहे.ती पुढीलप्रमाणे: ज्या संख्येची विभाज्यता कसोटी आपल्याला हवी आहे ती घ्या (उदाहरणार्थ १३). त्या संख्येला अशा संख्येने गुणा की ज्यामुळे गुणाकाराच्या एकमस्थानी ९ येईल. आपण १३ ला तीनने गुणले तर गुणाकार ३९ येईल आणि त्या गुणाकाराच्या एकमस्थानी ९ आहे. या गुणाकाराच्या दशकस्थानची संख्या अधिक १ म्हणजे Positive seed number.म्हणजेच १३ साठीचा Positive seed number झाला ३+१=४. समजा आपल्याला २३ या संख्येचा Positive seed number हवा आहे. २३ ला तीनने गुणल्यास गुणाकार येतो ६९, म्हणजे २३ साठीचा Positive seed number झाला ६+१=७. तसेच दिलेल्या संख्येचा Negative seed number हवा असेल तर त्या संख्येला अशा संख्येने गुणा की ज्यामुळे गुणाकाराच्या एकमस्थानी १ येईल. समजा १३ चा Negative seed number आपल्याला हवा आहे. १३ ला ७ ने गुणले तर गुणाकार येईल ९१ आणि त्या गुणाकाराच्या एकमस्थानी १ आहे. या गुणाकाराच्या दशकस्थानची संख्या म्हणजे झाला Negative seed number. म्हणजे १३ चा negative seed number झाला ९. तसेच २३ ला ७ ने गुणले तर गुणाकार येईल १६१. म्हणजे २३ चा Negative seed number झाला १६. वर दिलेल्या सीड नंबर्सच्या यादीवरून एक गोष्ट वाचकांच्या लक्षात आलीच असेल. आणि ती म्हणजे: दिलेली संख्या= त्या संख्येचा Positive seed number+ त्या संख्येचा Negative seed number. तेव्हा दोन सीड नंबर्सपैकी आकडेमोडीसाठी सोयीचा सीड नंबर शोधावा आणि त्यावरून दुसरा सीड नंबर आपोआप येईलच. या विभाज्यतेच्या कसोट्यांची मर्यादा म्हणजे केवळ ५ ने शेवट न होणाऱ्या विषम संख्यांसाठीच ही पध्दत वापरता येईल.आणि अर्थातच थोडे तरी पाढे पाठ हवेत. वेळ मिळेल त्याप्रमाणे मोठ्या संख्यांचे गुणाकार चुटकीसरशी करता येणारी (किंवा वर्ग करता येणारी) पध्दत पुढील भागात. या पध्दतींचा उपयोग CAT सारख्या परीक्षांमध्ये (ज्यात calculator वापरता येत नाही) नक्कीच होईल.
वर्गीकरण
लेखनविषय (Tags)
हे ठिकाण
विज्ञान
लेखनप्रकार (Writing Type)
प्रकटन
8519 वाचन
💬 प्रतिसाद (27)

प्रतिक्रिया

मन१
Sun, 06/17/2012 - 21:56 नवीन
वाचनखूण केलाय. निवांत वाचतोय पुन्हा एकदा...

पैसा
Sun, 06/17/2012 - 23:11 नवीन
आणि +१३!!!
↩ प्रतिसाद: मन१

राजेश घासकडवी
Sun, 06/17/2012 - 23:38 नवीन
आम्हाला लहानपणी ११ ने भाग जातो का हे तपासण्यासाठी एक युक्ती शिकवली होती. समजा सहा आकडी संख्येला ११ ने भाग जातो का नाही हे तपासून बघायचं असेल तर पहिल्या, तिसऱ्या आणि पाचव्या स्थानावरच्या आकड्यांची बेरीज करायची. तसंच दुसऱ्या, चौथ्या आणि सहाव्या स्थानावरच्या आकड्यांची बेरीज करायची. या बेरजांमधल्या फरकाला ११ ने भाग जात असेल पूर्ण संख्येला ११ ने भाग जातो. म्हणजे २८९४३२ साठी २ + ९+ ३ = १४ ८ + ४ + २ = १४ १४ - १४ = ० तेव्हा ११ ने भाग जातो. किंवा २८१६९९ साठी २ + १+ ९ = १२ ८ + ६ + ९ = २३ २३ - १२ = ११ तेव्हा ११ ने भाग जातो.

गणपा
Sun, 06/17/2012 - 23:57 नवीन
जरा थांबा सवडीने विस्तृत लिहून व्यनि करतो.
वं बॅटमॅन आमालाबी कळू दे की चार युक्तीच्या गोष्टी. हतं धाग्यावरचं लिव्हा की.
↩ प्रतिसाद: बॅटमॅन

बॅटमॅन
Mon, 06/18/2012 - 01:28 नवीन
लिहितो की त्यात काय :) मला वाटले की काही नोटेशन उदा. लेटेक फाँट्स इथे येणार नाहीत म्हणून म्हणालो इतकेच. तर विभाज्यतेच्या कसोट्या हा गणितातील अतिप्राचीन भाग आहे हे नक्की. कुठलीही पूर्ण संख्या एकतर मूळ किंवा संयुक्त असते आणि प्रत्येक संयुक्त संख्या ही मूळसंख्यांचा गुणाकार म्हणून लिहिता येते. त्यामुळे विभाज्यतेच्या कसोट्यांबद्दल बोलताना फक्त मूळसंख्यांच्या कसोट्यांचे विवेचन केले तरी पुरेसे आहे. आता क्लिंटनभौंनी दिलेल्या कसोट्या बघू. समजा अबक=१००*अ+१०*ब+क अशी डेसिमल नोटेशनमधली एक संख्या आहे. दिलेल्या ७ च्या विभाज्यता कसोटीनुसार जर अबक ला ७ ने भाग जातो तर (५*क+अब) ला ७ने भाग जातो. म्हणजेच (१००*अ+१०*ब+क) आणि (१०*अ+ब+५*क) यांच्या वजाबाकीला ७ ने भाग जातो. हेच आटोपशीररीत्या ७| [(१००*अ+१०*ब+क)-(५*क+१०*अ+ब)] असे लिहितो. म्हणून ७|[९०*अ+९*ब - ४*क]; म्हणून ७|[९०*अ+९*ब+३*क]; ....{४+३=७; म्हणून -४=३(मॉड ७) असे लिहितात, उदा. जर क= ख(मॉड ७), तर ७ ने (क-ख) ला भाग जातो, म्हणजेच काँपॅक्ट पणे ७|(क-ख).} म्हणून ७|[३०*अ+३*ब+क];......{३ व ७ चा मसावि १ असल्याने जर ७|(३*क्ष), तर ७|क्ष.} आणि आधी दिल्याप्रमाणे ७|(१००*अ+१०*ब+क), त्यामुळे ७|[(१००*अ+१०*ब+क)-(३०*अ+३*ब+क)]; म्हणजेच ७|[७०*अ+७*ब]; जे की सरळ आहे. अशाप्रकारे नेसेसरी कंडिशन सॅटिस्फाय झाली. आता सफिशियंट कंडिशन सॅटिस्फाय होते का ते बघू. जर ७ | (१०*अ+ब+ ५*क), तर त्यावरून ७| (१००*अ+१०*ब+क) असे म्हणता येईल का? पाहू. ७ | (१०*अ+ब+ ५*क), त्यामुळे ७|[१०*(१०*अ+ब+ ५*क)]; म्हणून ७|[१००*अ+१०*ब+५०*क]. आता [(१००*अ+१०*ब+५०*क)-(१००*अ+१०*ब+क)]=४९*क, त्यामुळे ७| (१००*अ+१०*ब+क). सफिशियंट कंडिशन पण सॅटिस्फाय झाली. कुठल्याही संख्येसाठी केलेले जनरलायझेशन असे: समजा क्ष ही कुठलीही एक संख्या आहे आणि हे माहिती आहे की क्ष|(१००*अ+१०*ब+क). मग समजा य अशी संख्या आहे की क्ष*य=९(मॉड १०) आणि ज ही संख्या अशी आहे की क्ष*ज=१(मॉड १०). ही दोन्हीही समीकरणे तेव्हाच व्हॅलिड आहेत जेव्हा क्ष ही विषम संख्या आहे आणि ५ने क्ष ला भाग जात नाही. त्यामुळे सीड नंबरची पद्धती ही फक्त ५ मध्ये एंड न होणार्‍या विषम संख्यांसाठीच व्हॅलिड आहे. तर क्ष ही तशी संख्या आहे असे मानून पुढे चालू. वरील दोन्ही समीकरणे अ‍ॅड केल्यास मिळते ते असे: क्ष*(य+ज)=१०(मॉड १०) = ० (मॉड १०); म्हणून १०|[क्ष*(य+ज)]. आता समजा , क्ष* य =१०*प+९, कारण आधीच दिल्याप्रमाणे क्ष*य=९(मॉड १०) . दिलेल्या नोटेशनप्रमाणे व माहितीप्रमाणे पॉझिटिव्ह सीड नंबर=प+१. तसेच समजा क्ष*ज=१०*फ+१, कारण आधीच दिल्याप्रमाणे क्ष*य=१(मॉड १०) . दिलेल्या नोटेशनप्रमाणे व माहितीप्रमाणे निगेटिव्ह सीड नंबर=फ. आता , पॉझिटिव्ह सीड नंबर + निगेटिव्ह सीड नंबर =फ+प+१; म्हणून , डावी बाजू = [( क्ष* य-९)/१०+१] +[(क्ष*ज -१)/१०]. म्हणून , डावी बाजू = [( क्ष* य-९+क्ष*ज-१+१०)/१०]. म्हणून , डावी बाजू =[( क्ष* (य+ज)/१०]. आता , १०|(य+ज) हे दिलेले असल्याने डावी बाजू पूर्णांक येणारच आहे, पण जर (य+ज)=१०, तरच डावी बाजू "क्ष" इतकी येईल, अन्यथा क्ष चा कुठलातरी मल्टिपल येईल. आता जनरल केसमधील सफिशियंट कंडिशन पाहू. दिलेल्या नोटेशननुसार , क्ष|(क*{पॉझिटिव्ह सीड नंबर}+१०*अ +ब). म्हणून, क्ष|(क*{( क्ष* य-९)/१०+१}+१०*अ +ब}. म्हणून, क्ष | [क*क्ष*य-९*क+१०*क+१००*अ+१०*ब]; छेद समान करून. म्हणून , क्ष| [क्ष{क*य}+१००*अ+१०*ब+क]; म्हणून, क्ष | [१००*अ+१०*ब+क]. सबब, सफिशियंट कंडिशन पण सॅटिस्फाय झाली. हे झाले दिलेल्या पद्धतीचे जनरल विश्लेषण. क्लिंटनभौंनी दिलेल्या विवेचनापेक्षा यात वेगळे असे फार काही नाही. मला नीट कळावे म्हणून मी असे लिहिले इतकेच. इथे दिलेल्या पद्धतीशी खूप सिमिलर पण नेसेसरी कंडिशन सॅटिस्फाय होऊनही सफिशियंट कंडिशन सॅटिस्फाय न होणारी पद्धत मी खूप आधी स्वतः शोधली होती, त्यामुळे मी जरा डीटेलवारी पाहिले की नेसेसरी व सफिशियंट अशा दोन्हीही कंडिशन सॅटिस्फाय होतात की नाही. इथे त्या होतात, हे पाहून असा आनंद झाला की काय सांगू. असो. अजून एक पद्धत आहे-मीच शोधलीय पण अजूण कुठे असेल आधीपासून तर माहिती नाही. तीपण खूप सोपी आहे. फक्त लिमिटेशन जरा जास्त आहेत. ती यथा वकाश सांगेनच. तिथे मात्र दोन्हीही कंडिशन सॅटिस्फाय होतात :)
↩ प्रतिसाद: गणपा

मिहिर
Tue, 06/19/2012 - 00:13 नवीन
मस्त धागा आणि बॅटमॅन यांचा प्रतिसादही मस्तच! पहिल्यांदा क्ष्,य वाचून काय डोक्यात घुसेना. मग सरळ कागद-पेन घेऊन लिहून पाहिले. मस्तच! क्लिंटन आणि बॅटमॅन दोघांनाही धन्यवाद!
↩ प्रतिसाद: बॅटमॅन

बॅटमॅन
Mon, 06/18/2012 - 01:58 नवीन
तर दुसरी पद्धत एकदम साधी आहे. ती फक्त विषम संख्यांसाठी लागू पडते. आधी दिलेल्या प्रमाणेच शेवटी ५ नकोय. उदा. ११ ची एक कसोटी अशी आहे. एकाआड एक संख्यांची बेरीज करा, २ बेरजा तयार होतात. त्यांची परत वजाबाकी करा. वजाबाकीला जर ११ ने भाग जात असेल तर वरिजिनल संख्येला ११ ने भाग जातो, उदा. १२३४०९ ही संख्या पहा. एककस्थानापासून एकाआड एक संख्यांची बेरीज= ९+४+२=१५. दशकस्थानापासून एकाआड एक संख्यांची बेरीज = ०+३+१=४. त्यांची परत वजाबाकी=१५-४=११. आता ११ला ११ ने भाग जातो, सबब १२३४०९ ला ११ ने भाग जातो. याचे जनरलायझेशन आहे. आता, १०+१=११. म्हणून मगशी दिलेल्या नोटेशनमध्ये , १०=-१(मॉड ११). आणि -१(मॉड ११) असणारा १० चा सर्वांत लहान घातांक १ हा आहे. म्हणून एकाआड एक बेरजा करताना सिंगल आकड्यांची करून मग वजाबाकी केली जाते. त्याउलट, १०^(३)=-१(मॉड ७). त्यामुळे ७ च्या कसोटीत एकाआड एक अशी ३ आकड्यांचे ब्लॉक्स करून मग बेरीज करून वजाबाकी केली जाते, क्लिंटनभौंच्या कसोटिपेक्षा ही कसोटी मोठ्या संख्यांबद्दल जास्त फास्ट आहे. उदा. ४४०३१२३२ ही संख्या पहा. मी सांगतोय त्यानुसार ब्लॉक्स पाडा. ०४४०३१२३२ ४४+२३२=२७६. २७६-०३१=२४५. आता आली का पंचाईत? इथे कसे ब्लॉक्स पाडणार? मान्य आहे, एका मर्यादेपलीकडे ते होत नाही. मग क्लिंटनभौंनी दिलेली मेथड वापरून उत्तर येते. इथे अ‍ॅडव्हांटेज हे आहे की ती मेथड खूपच लहान संख्यांवर लावावी लागते. आता ७|२४५ हे त्या मेथडने येतेच, सबब ४४०३१२३२ ला ७ ने भाग जातो. आता जनरल केसः समजा क्ष ही संख्या आहे आणि प ही लहानात लहान संख्या आहे सच दॅट १०^(प)=-१(मॉड क्ष). मग, क्ष च्या कसोटीसाठी असे एकाआड एक "प" आकड्यांचे ब्लॉक्स पाडावेत. याची सिद्धता लैच स्ट्रेटफॉर्वर्ड आहे, सबब देत नाही. इति आमचे २ आणे समाप्तं :)

सुनील
Mon, 06/18/2012 - 04:20 नवीन
सीड नंबर काढून एखाद्या संख्येची विभाज्यता काढण्याची पद्धत रोचक! सीडची पद्धत अधिक व्यापक असली तरी, ३ आणि ९ साठी अधिक झटपट पद्धत उपलब्ध आहे. ३ आणि ९ ह्या संख्यांसाठी सीड नंबर न काढतादेखिल विभाज्यता तपासता येते. दिलेल्या संख्येतील सर्व आकड्यांची बेरीज करून, त्या बेरजेला ३ अथवा ९ ने भाग जातो किंवा नाही ते पहायचे. गेला तर त्या संपूर्ण संख्येला ३ (वा ९) ने भाग जातो असे मानता येते. उदा १) ४२९१३८ ही तीनाने तसेच नवाने विभाज्य आहे कारण ४+२+९+१+३+८=२७ (३ आणि ९ ने विभाज्य) उदा २) ४८३३५१५५५०४४ ही संख्या तीनाने अथवा नवाने विभाज्य नाही कारण ४+८+३+३+५+१+५+५+५+०+४+४=४७ (३ वा ९ ने अविभाज्य) उदा ३) २४२७२७५४ ही संख्या तीनाने विभाज्य मात्र नवाने अविभाज्य कारण २+४+२+७+२+७+५+४=३३ (३ न विभाज्य मात्र ९ ने नाही)

मृत्युन्जय
Mon, 06/18/2012 - 11:48 नवीन
वाचखुण साठवली आहे. या एवढ्या सुंदर धाग्यावर एवढ्या कमी प्रतिक्रिया का बरे? चांगल्या धाग्यांवर प्रतिक्रिया न देता तद्दल रद्द्ड बकवास बेंगरुळ धाग्यांना प्रतिक्रिया देउन चांगले धागे दुर्लक्षिणे योग्य नव्हे. गणितात अजिबात गती नसतानाही (किंबहुना त्यामुळेच) हा धागा प्रचंड आवड्ला गेला आहे. :)

अभिज्ञ
Mon, 06/18/2012 - 19:03 नवीन
अतिशय माहितीपुर्ण व उत्कृष्ठ धागा. वर मृत्युंजय ह्यांनी म्हणाल्याप्रमाणे, मलाही हाच प्रश्न पडला आहे. या एवढ्या सुंदर धाग्यावर एवढ्या कमी प्रतिक्रिया का बरे? अभिज्ञ.

मदनबाण
Mon, 06/18/2012 - 22:04 नवीन
माझा आणि गणिताचा ३६ चा आकाडा आहे, त्यामुळे धागा वाचण्याचे कष्ट घेतलेले नाहीत ! शाळेत असताना बाकोबा,कोबाको इं, त्यात ते पायथागोरसचे प्रमेय ! त्यावेळा वाटलं होत, मायला त्या पायथागोरसच्या... वेळ जाता नव्हता म्हणुन असल प्रमेय लिहत बसला असावा ! अन् फुकटच लचांड च्यामारी आमच्या अभ्यासमागे लावुन गेला ! ;) csc(theta)=1/sin(theta) sec(theta)=1/cos(theta) cot(theta)=1/tan(theta) या असल्या काही तरी गणितांनी तर डोक्याला पार शॉट लागला होता माझ्या ! नंतर त्यात डेरिव्हेटीव आणि इंटिग्रेशनी भर घातली ! बाकी, या एवढ्या सुंदर धाग्यावर एवढ्या कमी प्रतिक्रिया का बरे? हे विचारणे म्हणजे गब्बर सिंगला तू दरोडेखोर का आहेस ?असे विचारण्या सारखे आहे ! ;) अहो, या धाग्यात "वैदिक" "म सा ला" नाही ना !
↩ प्रतिसाद: अभिज्ञ

सागर
Mon, 06/18/2012 - 19:09 नवीन
छान लिहिले आहेत क्लिंटन महोदय तुम्ही... खूप दिवसांनी हा लेख पाहून आनंद झाला. या विषयात मला फारशी गती नाहिये. पण मलापण सोप्या भाषेत हे सर्व समजले. :) छान लेख आहे. बाकी तुमच्याशी राजकारण, अर्थव्यवस्था अशा गोष्टींवर चर्चा करायला नक्की आवडेल. :) या १-२ आठवड्यात सक्रियतेने आंतरराष्ट्रीय राजकारणातील घडामोडींवर लिहायचा बेत आहे. विषयाचा शोध घेतो आहे. गवसला की टाकतो एक लेख मग करुयात चर्चा :)

नंदन
Tue, 06/19/2012 - 00:21 नवीन
धागा. बॅटमॅन यांचे प्रतिसादही आवडले. धाग्याची वाचनखूण साठवली आहे. गुणाकार/वर्ग करण्याच्या पद्धतीच्या भागाची वाट पाहतो.

धनंजय
Tue, 06/19/2012 - 01:36 नवीन
छान. लेख आणि प्रतिसादही.

कलंत्री
Tue, 06/19/2012 - 12:53 नवीन
मूळ माहिती आणि त्यावरील प्रतिसाद वाचताना एका गोष्टीची खात्री झाली की हा आपला प्रांत नाही. तरीपण क्लिंटन आणि बॅटमॅन यांचे कौतुक.

मेघवेडा
Tue, 06/19/2012 - 13:38 नवीन
छान धागा. वाल्गुदेयाचा प्रतिसादही उत्तम. आता अशा झटपट गणितं सोडवण्याच्या तथाकथित 'वैदिक' पद्धतीही येऊ द्या. म्हणजे उगाच तक्रारीला जागा उरायची नाही प्रतिसाद कमी का आले म्हणून. ;)

विश्वनाथ मेहेंदळे
Tue, 06/19/2012 - 15:12 नवीन
वैदिक शब्द बघून १० लोकांनी इथे येऊन उगाच धाग्याची आय घालण्यापेक्षा जे चालले आहे ते ठीक आहे. धागा लायनी वर तर आहे. बाकी, क्लिंटन काकांनी अनेक दिवसांनी दर्शन दिलेले बघून आनंद झाला. लेख आणि वाल्गुदेयाचा प्रतिसाद मस्तच !!!
↩ प्रतिसाद: मेघवेडा

कपिल काळे
Fri, 06/22/2012 - 14:07 नवीन
उपयुक्त माहिती. एकदम सोपी मांडणी. <<वेळ मिळेल त्याप्रमाणे मोठ्या संख्यांचे गुणाकार चुटकीसरशी करता येणारी (किंवा वर्ग करता येणारी) पध्दत पुढील भागात>> आपल्याला लवकरच वेळ मिळो.

क्लिंटन
Sat, 06/23/2012 - 09:49 नवीन
सर्वांना प्रतिसादाबद्दल धन्यवाद. बॅटमॅनला या कसोट्यांची सिध्दता दिल्याबद्दल विशेष धन्यवाद. कागद-पेन घेऊन सिध्दता लिहूनच बघितली. माझ्या स्पर्धा-परीक्षांसाठीच्या मर्यादित उद्देशात या कसोट्या बरोबर आहेत हे पडताळून बघण्याशिवाय अधिक काही नव्हते ते या सिध्दतांच्या रूपात बॅटमॅनने दिल्याबद्दल परत एकदा विशेष धन्यवाद. सागर, तुझ्या लेखाचीही वाट बघत आहे. बाय द वे, या सिध्दता मी नक्कीच शोधून काढलेल्या नाहीत तर त्या "वैदिक गणित" नावाच्या जांभळे कव्हर असलेल्या एका पुस्तकात दिल्या आहेत (लेखक नक्की कोण ते लक्षात नाही). मुळातील कसोट्यांची उपयुक्तता तपासून बघण्यापेक्षा हे खरोखरच "वैदिक" गणित आहे का अशा स्वरूपाचे फाटे या धाग्याला फुटावेत अशी अजिबात इच्छा नसल्यामुळे मूळ धाग्यात ते लिहिले नव्हते. आता वेळ मिळेल त्याप्रमाणे वर्ग करायच्या पध्दतींवर लेख लिहेन.