मराठी साहित्य, संस्कृती आणि लेखनाचे व्यासपीठ
प्रवेश करा | सदस्य व्हा
मिसळपाव

गणेश गुणाकार (वैदिक गणितातील दोन संख्यांचा गुणाकार करायची एक सोपी पद्धत)

Pearl · · काथ्याकूट
लहानपणी, शाळेत असताना एक शिक्षक आम्हाला वैदिक गणित शिकवायचे. त्यात गणित सोडवायच्या सोप्या सोप्या पद्धती दिल्या असायच्या. इंटरेस्टिंग होतं वैदिक गणित. तर मला त्यातली दोन संख्यांचा गुणाकार करण्याची एक पद्धत आवडायची. त्याचं नाव आहे 'गणेश गुणाकार'. दोन कितीही आकडी संख्यांचा गुणाकार या खूप सोप्या पद्धतीने खूप जलद करता येतो. तर पाहूया कसा करायचा हा गणेश गुणाकार. (माझ्या ब्लॉगवर पूर्वप्रकाशित)
वाचने 63459 वाचनखूण प्रतिक्रिया 117

सुनील Fri, 06/08/2012 - 03:18
मनोरंजक पण काही शंका - १) हल्ली मोबाइलवरदेखिल कॅलक्युलेटर उपलब्ध असताना हे सव्यापसव्य कोण आणि कशासाठी करणार? २) ह्यात वैदिक नक्की काय आहे? कोणत्या वेदात ह्याची माहिती दिली गेली आहे? ३) आकडेमोड किंवा अंकगणित हा शब्द वापरण्याऐवजी गणित असा अधिक व्यापक अर्थ असलेला शब्द का वापरला गेला आहे?

Pearl Fri, 06/08/2012 - 04:43
१) हल्ली मोबाइलवरदेखिल कॅलक्युलेटर उपलब्ध असताना हे सव्यापसव्य कोण आणि कशासाठी करणार? - कॅलक्युलेटर उपलब्ध असतानाही आपण आपल्या मुलांना बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार शिकवणारच ना. तसंच ही पद्धत पण (आवड असल्यास) ज्ञानात वाढ म्हणून आणि (गणितातली) गंमत(फन) म्हणून शिकायची आणि शिकवायची. २) ह्यात वैदिक नक्की काय आहे? कोणत्या वेदात ह्याची माहिती दिली गेली आहे? - असंच काहीसं असावं. या विषयावर मराठीतही पुस्तकं आहेत. त्यात किंवा नेटवर ह्याची माहिती मिळू शकेल. ३) आकडेमोड किंवा अंकगणित हा शब्द वापरण्याऐवजी गणित असा अधिक व्यापक अर्थ असलेला शब्द का वापरला गेला आहे? - ते माहिती नाही. पण वैदिक गणित असचं नाव होतं. नेटवर शोध घेतल्यास अधिक माहिती मिळू शकेल.

राजेश घासकडवी Fri, 06/08/2012 - 17:05
३) आकडेमोड किंवा अंकगणित हा शब्द वापरण्याऐवजी गणित असा अधिक व्यापक अर्थ असलेला शब्द का वापरला गेला आहे?
बुल्स आय! आकडेमोडीला 'गणित' म्हणणं म्हणजे कुंडीत झाड लावण्याला पर्यावरण नियोजन म्हणण्यासारखं आहे

मृत्युन्जय Sat, 06/09/2012 - 10:33
- १ माझ्यासारख्या अडाणी माणसासाठी हे गणितच आहे. सामन्यतः मी मला भूमिती जमत नाही किंवा बीजगणित जमत नाही असे म्हणत नाही तर मी मला गणित जमत नाही असे म्हणतो. संख्याशास्त्र ही देखील गणिताचीच एक उपशाखा असावी. सामान्य व्यवहारात एवढ्या काटेकोरपणे शब्दप्रयोग होत नाहित. सगळीकडे तसा आग्रह धरणे देखील चुकीचेच. शिवाय.... हे गणित नाही असे म्हणता येणार नाही. हे गणितच आहे. कदाचित तुमच्या म्हणण्याप्रमाणे अंकगणित हा जास्त समर्पक शब्द होउ शकला असता. पण गणित तरीदेखील बरोबर. बुल्स आय! आकडेमोडीला 'गणित' म्हणणं म्हणजे कुंडीत झाड लावण्याला पर्यावरण नियोजन म्हणण्यासारखं आहे मला वाटते एक झाड किंवा रोपटे लावणे हे देखील आपल्या परीने पर्यावरण नियोजनाचा भाग असते.

मराठी कथालेखक गुरुवार, 03/17/2016 - 14:46
बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार , भागाकर हे शेवटी गणिताचेच भाग आहेत. मी i20 नामक गाडीला 'Premium Hatchback Car' म्हंटल , नुसतच Car म्हंटल किंवा फक्त vehicle म्हंटल तरी चुकीच अस काही नाहीचं.
मला वाटते एक झाड किंवा रोपटे लावणे हे देखील आपल्या परीने पर्यावरण नियोजनाचा भाग असते.
नक्कीच !! बाकी गंमत म्हणून गुणाकराची ही पद्दत शिकण किंवा त्यामुळे आकडेमोडीबद्दलच्या आपल्या ज्ञानात भर घालण याकरिता वेळ देण नक्कीच व्यर्थ नाही.

टुकुल Fri, 06/08/2012 - 04:32
मस्त.. उजवीकडुन डावीकडे बेरीज करायला थोडा गंडलो होतो, पण शेवटी जमल --टुकुल

नितिन थत्ते Fri, 06/08/2012 - 07:01
खाली दिलेल्या गुरव* पद्धतीपेक्षा ही गणेश पद्धत सोपी आणि/किंवा जलद कशी ते समजावून द्यावे. *मला आमच्या गुरव बाईंनी ही शिकवली म्हणून गुरव पद्धत

बाळ सप्रे Fri, 06/08/2012 - 10:43
दोन्हीत मूळ लॉजिक सारखच आहे फक्त मांडणी वेगळी आहे. या पद्ध्तीत "हातचा" आकडा मनात धरावा लागतो. गणेश पद्धतीत तो लिहिला जातो. त्यामुळे चूक होण्याची शक्यता कमी होते एवढच. मांडणीसाठी थोडा वेळ जास्त लागतो हे खरयं.

JAGOMOHANPYARE Fri, 06/08/2012 - 14:47
गुरव पद्धतीतही हातचा लिहिला तर चालतो. उत्तराच्या वर जी रेषा आहे, तिथे बारीक अक्षरात हातचा लिहायची पद्धत आहे. मनात धरला तरी चालतो.

बाळ सप्रे Fri, 06/08/2012 - 16:05
बेरजेतला "हातचा" लिहिता येतो. गुणाकारातला "हातचा" लिहायला तेवढी जागा नाही. लिहिला तर खूपच गिचमिड होइल.

Pearl Fri, 06/08/2012 - 08:54
गणेश गुणाकार आणि पारंपारिक पद्धतीचा गुणाकार यातला फरक समजण्यासाठी दोन्ही पद्धतीने गणित सोडवून पहा. आणि दोन्ही संख्या ५-६ अंकी घेऊन पहा. फरक लगेच लक्षात येईल. जितक्या मोठ्या संख्या घ्याल, तितका गणेश गुणाकार पारंपारिक पद्धतीपेक्षा सोपा वाटेल. आपण दिलेल्या या पारंपारिक पद्धतीनुसार, दिलेल्या उदाहरणामध्ये, पहिल्या स्टेपमध्ये ८ ने अनुक्रमे २,३,५,९ ला गुणले जाते व प्रत्येक वेळी हातचा लक्षात ठेवून, मग पुढचा गुणाकार करून (लक्षात ठेवलेला) हातचा पुढच्या गुणाकारात अ‍ॅड करावा लागतो आहे. असं प्रत्येक स्टेपला केलं जातं. म्हणजेच तीनही स्टेपमध्ये प्रत्येक गुणाकारात हातचा लक्षात ठेवून, मग गुणाकार करून त्यात हा हातचा अ‍ॅड करण्याची काहिशी क्लिष्ट प्रक्रिया केली जाते. याउलट गणेश गुणाकारात प्रत्येक छोट्या चौरसात त्या त्या दोन (एकअंकी) संख्यांचे गुणाकार फटाफट लिहिले जातात. आणि शेवटी एकदाच बेरीज केली जाते. मला तरी ही पद्धत एकदम सोपी आणि अमेझिंग वाटली.

नितिन थत्ते Fri, 06/08/2012 - 09:46
मोठ्या संख्या असतील तर हा मांडणीचा पट तेवढा मोठा असेल. शिवाय पारंपरिक गुरव पद्धतीप्रमाणेच प्रत्येक आकड्याचा प्रत्येक आकड्याशी गुणाकार करायचाच आहे. म्हणजे काम वाढलेले आहे (पट आखणे संख्या पटात लिहिणे वगैरे). जेवढ्या संख्या मोठ्या, तेवढा गणेश गुणाकाराला लागणारा वेळ गुरव गुणाकाराला लागणार्‍या वेळेपेक्षा जास्त होईल (फरक वाढतच जाईल). >>गणेश गुणाकार आणि पारंपारिक पद्धतीचा गुणाकार यातला फरक समजण्यासाठी दोन्ही पद्धतीने गणित सोडवून पहा. वेळ मिळाला की करून पाहतो.

Pearl Fri, 06/08/2012 - 19:39
>>वेळ मिळाला की करून पाहतो.>> जरूर करून पहा. कारण त्याशिवाय नेमकं काय सोपं जातं ते लक्षात येईल. बरेच जणांनी या पद्धतीने गणित न करताच प्रतिक्रिया दिल्या आहेत असं वाटतं आहे. त्यामुळे एखादी गोष्ट करूनच पाहिली नाहिये तर ती (तुलनेने) सोपी किंवा अवघड कसं बरं ठरवता येईल. आणि सगळ्यांना ही पद्धत सोपी वाटावी, त्यांनी वापरावी असा आग्रह नाही. मला ही पद्धत आवडते, सोपी वाटते आणि बर्‍याच जणांसाठी कदाचित ही नवी माहिती असेल असं वाटल्याने इथे शेअर केली. >>मोठ्या संख्या असतील तर हा मांडणीचा पट तेवढा मोठा असेल. शिवाय पारंपरिक गुरव पद्धतीप्रमाणेच प्रत्येक आकड्याचा प्रत्येक आकड्याशी गुणाकार करायचाच आहे. म्हणजे काम वाढलेले आहे (पट आखणे संख्या पटात लिहिणे वगैरे).>> म्हणूनच एकदा हा गुणाकार करून पहाणे (आणि मग त्यावर भाष्य करणे) आवश्यक आहे. प्रत्येक आकड्याचा प्रत्येक आकड्याशी गुणाकार करायचाच आहे. पण हा प्रत्येक गुणाकार गणेश पद्धतीत स्वतंत्र आहे. सर्व छोट्या चौरसातील गुणाकार स्वतंत्र आहेत. त्यामध्ये कोणताही हातचा कोणालाही द्यायचा नाहिये. फक्त शेवटची जी बेरीज आहे त्यातच फक्त हातचा दिला जातो. बाकी कोणत्याही गुणाकाराचे उत्तर लिहिताना हातचा दिला/घेतला जात नाहिये. हा धाग्याच्या वाचकांना/प्रतिसादकांना असं सांगावसं वाटतं आहे की, १) कृपया हा गुणाकार समजावून घ्या, करून पहा आणि मगच प्रतिक्रिया द्या. म्हणजे चर्चा करणे सोपे जाईल. २) ह्या पद्धतीने केलेला गुणाकार कॅल्सीपेक्षा फास्ट होईल असं माझं मत नसून पारंपारिक पद्धतीपेक्षा जलद होईल असं माझं मत आहे. (तसं सगळ्यांच मत असेल असं नाही.) ३) हा धागा खरं तर मी अशासाठी काढला होता की, 'जर कोणाला अशा काही गणितातल्या गमतीजमती-क्लूप्त्या, ट्रिक्स माहिती असतील तर शेअर कराव्यात.' पण बहुदा हे वाक्य मूळ लेखात टाकले नसल्याने माझा हेतू वाचकांपर्यंत पोचला नसावा. म्हणजे चर्चा पण अवश्य व्हावी. पण अजून नव्या पद्धती/ट्रिक्स कळाल्या तरी आवडेल.

नितिन थत्ते Sun, 06/10/2012 - 09:07
>>बरेच जणांनी या पद्धतीने गणित न करताच प्रतिक्रिया दिल्या आहेत असं वाटतं आहे. त्यामुळे एखादी गोष्ट करूनच पाहिली नाहिये तर ती (तुलनेने) सोपी किंवा अवघड कसं बरं ठरवता येईल. करून पाहिले. ३९८९ गुणिले ५४२ हा गुणाकार दोन्ही पद्धतींनी करून पाहिला. हेच आकडे घेण्याचे कारण म्हणजे ते माझे दोन कंपन्यांमधील एम्प्लॉयी कोड नं होते. त्यात ९, ८, ९ वगैरे आकडे असल्यामुळे हातच्यांचा सुकाळ होता हा आनुषंगिक फायदा झाला. आधी गुरव पद्धतीने (म्हणजे शाळेत आपल्याला शिकवतात त्या पद्धतीने गुणाकार केला तेव्हा सुमारे ५६-५७ सेकंद लागले. नंतर गणेश पद्धतीने १ मिनिट १७-१८ सेकंद लागले. टेबल आखण्यास सुमारे १०-११ सेकंद लागले.म्हणजे प्रत्यक्ष आकडेमोडीस १० सेकंद जास्त लागले. सुमारे १८ टक्के. टेबल आखण्याचा काळ धरला तर ३५-३६ टक्के. गुरव पद्धत माहितीची होती, गणेश पद्धत आधी वापरलेली नव्हती असे होऊ नये म्हणून गणेश पद्धतीने आधी ३-४ वेगवेगळी सराव गणिते सोडवून पाहिली. याउलट जरी अनेक वर्षांत गुरव पद्धतीने प्रत्यक्ष गुणाकार केला नसला तरी गुरव पद्धतीचा सराव या प्रयोगापूर्वी केला नव्हता. मूळ लेखात "दोन कितीही आकडी संख्यांचा गुणाकार या खूप सोप्या पद्धतीने खूप जलद करता येतो" असे म्हटले आहे. ही गणेश गुणाकाराची पद्धत सोपी आहे हे खरे आहे (अर्थात गुरव पद्धतीपेक्षा सोपी आहे असे वाटत नाही). पण ती जलद मात्र नाही. इतर कोणी किंवा धागाप्रस्तावकांनी असा प्रयोग केला असेल तर त्याचे निष्कर्ष सांगावेत म्हणजे लिहिणारे प्रत्यक्ष गुणाकार न करता लिहीत आहेत असे व्हायला नको. टीप: सदरहू वैदिक गणित 'वैदिक' नाही हे आधीच ठाऊक असल्याने मी त्याबाबत कसला आक्षेप वाद उपस्थित केला नव्हता.

सुनील Sat, 06/09/2012 - 18:14
'जर कोणाला अशा काही गणितातल्या गमतीजमती-क्लूप्त्या, ट्रिक्स माहिती असतील तर शेअर कराव्यात.' पण बहुदा हे वाक्य मूळ लेखात टाकले नसल्याने माझा हेतू वाचकांपर्यंत पोचला नसावा. म्हणजे चर्चा पण अवश्य व्हावी. पण अजून नव्या पद्धती/ट्रिक्स कळाल्या तरी आवडेल हेतू चांगला मात्र शीर्षकावरून गंडला! "वैदिक गणित" असे बळेबळे दिलेले नाव देण्याऐवजी "आकडेमोडीतील गमतीजमती" किंवा तसेच काही तरी शीर्षक दिले असतेत तर, धागा भरकायटची शक्यता कमी होती (अर्थात मिपावर काय अशक्य आहे म्हणा!)

Pearl Sun, 06/10/2012 - 00:38
>>हेतू चांगला मात्र शीर्षकावरून गंडला! "वैदिक गणित" असे बळेबळे दिलेले नाव देण्याऐवजी "आकडेमोडीतील गमतीजमती" किंवा तसेच काही तरी शीर्षक दिले असतेत तर, धागा भरकायटची शक्यता कमी होती >> मला हे सगळ्यांच काय चाललं आहे ते खरचं कळत नाहिये. "वैदिक गणित" असे बळेबळे दिलेले नाव म्हणजे काय? आम्हाला आमच्या शिक्षकांनी वैदिक गणितातल्या ट्रिक्स शिकवल्या होत्या. त्यातच हा गुणाकार 'गणेश गुणाकार' या नावाने शिकवला होता. आता शिकवताना आम्ही जसं शिकलो, मला जे शिकल्याचं आठवतं आहे तेच मी इथे देणार ना. त्यात स्वत:ची भर कशाला घालेन मी. मला जसं शिकवलं होतं तेच मी इथं मांडलं. त्यात बळंबळं नावं द्यायचा काय संबंध. कमाल आहे तुमची. तरी बरं, अ‍ॅट लिस्ट 'गणेश गुणाकार' शिकलेली/माहिती असलेली अजून एक व्यक्ति (विकास) तरी मिळाली. अन्यथा लोकांनी 'गणेश गुणाकार' असं काही नावं असू शकतं हेच नाकारल असतं. आणि म्हंटलं फक्त आपल्या स्मृतीवर अवलंबून नको रहायला. म्हणून नेटवर सर्च मारून पाहिला तर 'वैदिक गणित' याच नावाने असलेली गणित पद्धती अस्तित्त्वात आहे, याला दुजोरा मिळाला. तुम्हीही 'वैदिक गणित' किंवा 'vedic maths' नावाने सर्च करून पहा. ढीगभर रिझल्ट मिळतील. उगाच स्वत: काही सर्च न मारता/ काहीही R & D न करता, खरचं 'वैदिक गणित' असे काही आहे की नाही हे पडताळून न पहाता कसे काय तुम्ही अशा सरसकट कमेंट करू शकता हे कळत नाही. बरं लोकांना ही पद्धत आवडली नसेल तसं सांगा, सोपी वाटत नसेल तर सोडून द्यावी. आवडली तर शिकून घ्यावी. हा.का.ना.का. त्या गणित पद्धतीच्या नावावरून एवढा गदारोळ का व्हावा हे खरचं माझ्या आकलनाबाहेरच आहे.

सुनील Sun, 06/10/2012 - 02:15
वैदिक हा शब्द तुम्ही वापरलाय तेव्हा ते वैदिकच आहे हे सिद्ध करण्याची जबाबदारी तुमची. तरीही ... उगाच स्वत: काही सर्च न मारता/ काहीही R & D न करता, खरचं 'वैदिक गणित' असे काही आहे की नाही हे पडताळून न पहाता कसे काय तुम्ही अशा सरसकट कमेंट करू शकता हे कळत नाही. http://www.tifr.res.in/~vahia/dani-vmsm.pdf वास्तविक, ह्या दुव्याचीदेखिल आवश्यकता नाही. माझाच एक खालचा प्रतिसाद वाचा आणि स्वतःच ठरवा ह्याला वैदिक म्हणावे का? कॉमन सेन्स!!!

विश्वनाथ मेहेंदळे Mon, 06/11/2012 - 14:37
वैदिक हा शब्द तुम्ही वापरलाय तेव्हा ते वैदिकच आहे हे सिद्ध करण्याची जबाबदारी तुमची.
वैदिक गणित हा शब्द सदर लेखिकेने कॉईन केलेला नाही. सबब ते सिद्ध करण्याची जबाबदारी त्यांची नाही. काही शब्दप्रयोग हे असे रूढ झालेले असतात आणि ते तसेच स्वीकारले जातात. उद्या अमेरिकेत गेलात तर हॉट डॉग मध्ये कुत्रा शोधाल का? की यात कुत्रा नाही, मग डॉग का म्हणता असा वाद घालत बसाल हॉटेलात ? घालून बघा एकदा, काय उत्तर (किंवा ट्रीटमेंट ) मिळते सांगा. (आणि सांगाच, आम्ही धाग्याची वाट बघू ) त्यातून इथे लेखाचा विषय हा सरसकट वैदिक गणित नसून गणेश गुणाकार हा आहे. उगाच फाटे कशाला फोडायचे? आणि प्रत्येक ठिकाणी पुरावा कशाला द्यायला हवा? उद्या एखाद्याने आपले नाव धोंडो भिकाजी जोशी सांगितले तर त्याच्याकडे पुरावा म्हणून त्याचा आणि भिकाजी रावांचा DNA रिपोर्ट मागणार का ??

मृगनयनी Mon, 06/11/2012 - 16:17
उद्या अमेरिकेत गेलात तर हॉट डॉग मध्ये कुत्रा शोधाल का? की यात कुत्रा नाही, मग डॉग का म्हणता असा वाद घालत बसाल हॉटेलात ? घालून बघा एकदा, काय उत्तर (किंवा ट्रीटमेंट ) मिळते सांगा. (आणि सांगाच, आम्ही धाग्याची वाट बघू )
=)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) =)) सणसणीत उत्तर !!!!!! .. मस्त!!!!..... .... आवडेश!!!! :) अमेरिकेच्या राज्यघटनेनुसार बहुधा असे प्रश्न विचारणार्‍यांना बाहेरचा रस्ता दाखविला जात असावा... :)
त्यातून इथे लेखाचा विषय हा सरसकट वैदिक गणित नसून गणेश गुणाकार हा आहे. उगाच फाटे कशाला फोडायचे? आणि प्रत्येक ठिकाणी पुरावा कशाला द्यायला हवा? उद्या एखाद्याने आपले नाव धोंडो भिकाजी जोशी सांगितले तर त्याच्याकडे पुरावा म्हणून त्याचा आणि भिकाजी रावांचा DNA रिपोर्ट मागणार का ??
चोख प्रत्युत्तर्र!!!! ... :) मुळात या गुणाकाराची सोपी पद्धत समजून घेण्याऐवजी.. जाणून बुजून विषयाला फाटे फोडून या पद्धतीतल्या धार्मिक, सांस्कृतिक नावांवर अकारण टीका करण्यार्‍या लोकांना नक्की काय प्रॉब्लेम असतो.. तेच्च कळत नाही...!!! ____________________ "बाबा वाक्यं प्रमाणं" मधले "बाबा" म्हणजे नक्की कोण? :) याचे अचूक उत्तर ज्यास सापडेल.. त्यास आमच्याकडून एक सर्वान्गसुन्दर गणपतीबाप्पा भेट म्हणून देण्यात येइल!! :)

विकास Tue, 06/12/2012 - 07:58
माझ्या मूळ प्रतिसादात म्हणल्याप्रमाणे, मी गणेश गुणाकार इयत्ता चौथीत शिकलो होतो. तेंव्हा काही मला त्याला कोणी वैदीक गणित म्हणल्याचे आठवत नाही. तरी देखील ही चर्चा आणि वर सुनील यांनी दिलेला आणि मला देखील माहीत असलेल्या त्याच संदर्भामुळे, तसेच ह्याने पटकन उदाहरणे सोडवता येतात का नाही या चर्चेमुळे उत्सुकता चाळवली गेली.... मग काय मजबुरी का नाम गुगल ;) त्यातून मला कळले की ज्या सोळा सुत्रांना वैदीक गणित म्हणून ओळखले जाते, त्याच सुत्रांमधील एक उर्ध्वतिर्यकभ्यम सुत्र आहे ज्याला मराठीत कोणी नाव दिले आहे ते माहीत नाही पण गणेश गुणाकार हा शब्द अनेक वर्षे प्रचलीत असावा. आता या उर्ध्वतिर्यकभ्यम सुत्राचा पक्षि गणेश गुणाकाराचा उपयोग काय? यावर Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) या संस्थेच्या पब्लीकेशन्स मधे अनेक शोधनिबंध दिसले. आता ते मुळातून संपूर्ण वाचण्यासाठी पैसे द्यावे लागतील. पण त्याचे अ‍ॅबस्ट्रॅक्ट वाचायला मिळते. उ.दा. Lifting scheme discrete Wavelet Transform using Vertical and Crosswise multipliers हा आयर्लंड मधील ओब्रायन नामक संशोधकाचा शोधनिबंध आहे. त्याला वैदीक का वगैरे प्रश्न कदाचीत पडले नसावेत असे त्याचे खालील अ‍ॅब्स्ट्रॅक्ट वाचल्यावर वाटले:
In this paper, a power/area efficient multiplier for Field Programmable Gate Array (FPGA) logic is proposed using fast arithmetic techniques. An optimised multiplier based on Vedic Mathematics is proposed to improve the power dissipation compared with other common parallel multipliers (e.g. Booth, Carry Save, etc). This paper implements a Lifting Step function used in second generation Discrete Wavelet Transform (DWT). Multiplication is the main arithmetic operation used in the lifting scheme and the proposed method reduces the total power requirements. An Arithmetic Block (AB) using an optimised Vertical and Crosswise (VC) multipliers structure, implements the lifting step function. The lifting step and multiplier was designed and synthesized using Altera Quartas II on a Stratix II EP2S15F484C3 device. The results show the total power dissipation of the lifting step with carry-save (CS) and the carry-ripple (CR) array multipliers were 6.92% and 28.69% higher than its Vertical and Crosswise implementation. The lifting step based on CS-VC compared to the Booth-1 had 80.53% lower total power dissipation and 73.19% relative to Booth-3 based multipliers.
असे इतर अनेक पेपर्स बघायला मिळाले ज्यात गणित सोडवण्याचा वेग, जो डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंगसाठी महत्वाचा असतो, त्यात या गणेश गुणाकाराचा उपयोग करून पाहीला आहे (आणि त्या त्या संशोधकांना चांगला अनुभव आला आहे.) येथे एक सहा पानाचा पेपर वाचायला मिळू शकेल...

विश्वनाथ मेहेंदळे Tue, 06/12/2012 - 12:11
मग काय तर !!! उठसूट आक्षेप घेतलाच पाहिजे ना. मग आम्ही भले केशवसुतांनी म्हटल्याप्रमाणे "फोले पाखडिता तुम्ही... " या कॅटेगरीत का येईना... ;-) मा. झीचलाल

सुनील Tue, 06/12/2012 - 09:28
मी गणेश गुणाकार इयत्ता चौथीत शिकलो होतो. तेंव्हा काही मला त्याला कोणी वैदीक गणित म्हणल्याचे आठवत नाही. हाच तर प्वाईंट आहे ;) वैदिक गणित हा शब्द वैदिक काळापासून नव्हे तर नुकताच वापरात आलेला दिसतोय :)

विकास Tue, 06/12/2012 - 16:58
वैदीक शब्द पण वेदकाळातला होता का यावर पण चर्चा होऊ शकेल. आता वैदीक पद्धतीने विवाह लावले जातात, ते कुठल्या वेदातून आलेत असे कोर्ट विचारत नाहीत की त्या विवाहाची ग्राह्यता कमी ठरवली जात नाही... तेंव्हा तो मुद्दा नाही. तुम्ही दिलेल्या दुव्यामध्ये असे म्हणले होते की, "Not only does the approach of ” Vedic mathematics” not contribute anything towards this crucial objective, but in fact might work to its detriment, because of the undue emphasis laid on faster computation." त्या शिवाय येथे आलेल्या प्रतिसादातून देखील, हे वेळखाऊ आहे, जुनी पद्धत संगणककाळात कशाला हवी वगैरे प्रश्न विचारले गेले होते. त्याचा विचार करत असताना, डिफेन्ड करायला म्हणून देखील अजिबात नाही, पण उत्सुकतेपोटी आणि मोकळ्या मनाने (जे कुठल्याही शास्त्रीय वृत्तीच्या व्यक्तीने ठेवणे महत्वाचे असते) जेंव्हा जालावर शोधले तेंव्हा काय लक्षात आले? : अनेकांनी अधुनिक काळातील IEEE सारख्या संस्थेसाठी शोध निबंध लिहून त्याच्या ( "वैदीक गणिताचा" असा संदर्भ देत) वेग आणि संगणकीय काळातील उपयुक्तता दाखवून दिली आहे. बरं, तुम्ही दिलेल्या दाणींच्या लेखात देखील मुख्य टिका आहे ती त्या १६ सुत्रांचा गणिताचा प्राथमिक अभ्यास करण्याच्या प्रयत्नाबाबत आहे. मुलभूत गणित न शिकता नुसतेच सुत्राधारे वेगवान गणित शिकणे म्हणजे आता जगात भरपूर संगणक आहेत, अगदी मोबाईल्सवर पण सायंटीफिक कॅल्क्युलेटर्स असतात, तर मग उगाच कशाला मुलभूत गणित शिका अथवा पाढे पाठ करा, त्या असे म्हणण्यासारखे आहे असे कुठेतरी त्यांचे म्हणणे वाटले. त्यांचा हा मुद्दा, ज्यांना वैदीक गणित पद्धती म्हणून आवडते/वापरतात त्यांना देखील मान्यच होईल. असो.

क्लिंटन Tue, 06/12/2012 - 17:54
मग उगाच कशाला मुलभूत गणित शिका अथवा पाढे पाठ करा, त्या असे म्हणण्यासारखे आहे असे कुठेतरी त्यांचे म्हणणे वाटले. त्यांचा हा मुद्दा, ज्यांना वैदीक गणित पद्धती म्हणून आवडते/वापरतात त्यांना देखील मान्यच होईल.
गणित हा माझा आवडता विषय आहे. मला तरी असे वाटते की शाळेतील विद्यार्थ्यांसाठी पाढे ठेवणे आणि गणनयंत्राचा वापर न करता हाताने सगळ्या प्रकारची गणिते सोडविता येणे गरजेचे आहे. कारण ५ गुणिले २ = १० म्हणजे नक्की काय हे प्रत्यक्ष हाताने सोडविल्यानंतर कळेल, नुसते गणनयंत्रावरचे आकडे बघून नव्हे. तेव्हा संगणक/ यंत्रे असली तरी गणिते हाताने सोडविता येणे महत्वाचे आणि गरजेचे आहेच. एक समांतर उदाहरण म्हणजे इंजिनिअरींगच्या विद्यार्थ्यांना पहिल्या वर्षी drawing sheets हाताने न काढता डायरेक्ट AutoCAD दिले तर विविध संकल्पना-- first angle/third angle, orthographic projection, perspective इत्यादी गोष्टी समजायला अवघड जाईल असे वाटते. गणेश गुणाकार मी शाळेत असताना बघितला होता. काही प्रकारच्या गुणाकारांमध्ये त्याचा उपयोग गणित लवकर सोडवायला नक्कीच होईल असे वाटते. आणि हे "वैदिक" गणित आहे का हा वाद माझ्यासाठी तरी पूर्णपणे निरर्थक आहे. "वैदिक" या शब्दामुळे त्याविषयी विशेष ममत्व/ दुस्वास यापैकी काहीही वाटायचे कारण नाही. या "वैदिक" गणिताचा मला CAT च्या परीक्षेत नक्कीच उपयोग झाला होता आणि आजही मला अनेक गणिते त्या पध्दतीमुळे वेळ पडल्यास तोंडी सुध्दा सोडवता येतात. वेळ मिळाल्यास अशा गुणाकार/ वर्ग करायच्या पध्दतींविषयी स्वतंत्र लेख कधीतरी.

विकास Tue, 06/12/2012 - 18:43
मला तरी असे वाटते की शाळेतील विद्यार्थ्यांसाठी पाढे ठेवणे आणि गणनयंत्राचा वापर न करता हाताने सगळ्या प्रकारची गणिते सोडविता येणे गरजेचे आहे. मला देखील असेच म्हणायचे आहे. आणि दाणी (ज्यांच्या लेखासंदर्भात मी वर लिहीले) त्यांचे देखील असेच म्हणणे वाटले की मुलभूत गणित (त्यात त्या त्या वेळचे पाढे पाठ करणे वगैरे देखील आलेच) शिकून जर या पद्धती (त्यांच्या शब्दात ट्रीक्स ऑफ मॅजिक) वापरल्या तर गोष्ट वेगळी आहे. हे "वैदिक" गणित आहे का हा वाद माझ्यासाठी तरी पूर्णपणे निरर्थक आहे. "वैदिक" या शब्दामुळे त्याविषयी विशेष ममत्व/ दुस्वास यापैकी काहीही वाटायचे कारण नाही. पूर्ण सहमत. असेच माझे देखील म्हणणे आहे.

३_१४ विक्षिप्त अदिती Tue, 06/12/2012 - 20:56
पाढे पाठ असणे आणि ९३४५*७८६ अशा प्रकारचे गुणाकार करणे यात मूलभूत फरक असावा असे वाटते. साधारण १०-१२ पर्यंतचे पाढे पाठ असणं सामान्य माणसाला रोजच्या व्यवहारात उपयुक्त आहे याबाबत वाद नाही, पण त्यापुढे त्याचा फार मोठा गौरव होणं अवास्तव वाटतं. गणेश गु़णाकार किंवा गुरव गुणाकार करून शाळेत मार्क मिळतात यापुढे किती लोकांना त्याचा फायदा होतो? आणि त्या शाळेतल्या मार्कांचाही किती फायदा होतो? शाळेत असताना गणित हा विषय मलाही आवडायचा. दुर्दैवाने त्यानंतर मी मोठी झाले. कॉलेजातही गणित शिकण्याची दुर्बुद्धी झाली. मग गणिताची मूलभूत थिअरी शिकावी लागली. ०१ हे सिद्ध करा इथून त्या अभ्यासक्रमाची सुरूवात झाली. इंटीग्रेशन, डिफरन्सीएशन जमतं पण त्याची खर्र खर्र गणित भयंकर किचकट आहे म्हणून दोन्ही गोष्टी टुकार, भिकार वाटायला लागल्या. मग गड्या आपुला गाव बरा असा विचार करून शेवटच्या वर्षात गणित सोडून दिलं आणि अप्लाईड मॅथ्स, भौतिकशास्त्र शिकले. असो. बरं झालं हे कोणी हुशार लोकं, फार कष्ट करून अल्गोरिदम्स, न्यूमरिकल मेथड्स वगैरे लिहीतात. आम्ही पामर त्याचा सढळहस्ते वापर करून मूळ थिअरीला, खर्‍या गणिताला बगल देऊ शकतो. अवांतरः वाहियांच्या पानावर गणिताच्याही गोष्टी असतात तर!

क्लिंटन Tue, 06/12/2012 - 22:17
पाढे पाठ असणे आणि ९३४५*७८६ अशा प्रकारचे गुणाकार करणे यात मूलभूत फरक असावा असे वाटते.
हो बरोबर. पण थोडे मोठे आकडे असलेलेही तोंडी हिशेब करता येण्याचा फायदा मला माझ्या परीक्षेत आणि सध्याच्या प्रोफेशनमध्ये नक्कीच झाला आहे. गुणाकारापेक्षा भागाकाराचा जास्त-- म्हणजे कंपनीच्या फायद्याचे मार्जिन किती याप्रकारचे हिशेब करायला. असे हिशेब करायला दरवेळी गणनयंत्रावर अवलंबून राहायची वेळ न आल्यामुळे मुख्य काम (फायद्याचे मार्जिन लक्षात घेऊन इतर गोष्टींचा विचार करणे) एकसलग करता येते.
त्या शाळेतल्या मार्कांचाही किती फायदा होतो?
होतो की. याचे उत्तर backward integration ने देता येईल.नोकरी कशाच्या आधारावर मिळते? डिग्रीच्या आणि आपण ज्या कॉलेजातून पास होतो त्या कॉलेजच्या नावावर.त्या डिग्रीसाठी आणि त्या कॉलेजात प्रवेश मिळवायला १२वी आणि १०वी चे मार्कच उपयोगी पडतात ना. (आता डिग्रीत जे शिकलो त्याचा नोकरीच्या ठिकाणी किती उपयोग होतो हे विचारू नकोस :) )

श्रावण मोडक Sun, 06/10/2012 - 11:03
त्या गणित पद्धतीच्या नावावरून एवढा गदारोळ का व्हावा हे खरचं माझ्या आकलनाबाहेरच आहे.
मिपा, किंवा मराठी आंतरजालावर नेहमीच वापरता येणारी दोन वाक्ये आहेत - १. नावांत काय नाही? २. ज्याची-त्याची समज, आकलन वगैरे... ;-)

बिपिन कार्यकर्ते Sun, 06/10/2012 - 12:37
त्या गणित पद्धतीच्या नावावरून एवढा गदारोळ का व्हावा हे खरचं माझ्या आकलनाबाहेरच आहे.
मिपा, किंवा मराठी आंतरजालावर नेहमीच वापरता येणारी दोन वाक्ये आहेत - १. नावांत काय नाही? २. ज्याची-त्याची समज, आकलन वगैरे...Wink
तर तर... म्हणतात ना 'गेलं सांगायला तर नेलं टांगायला' त्यातली गत हो अगदी!

अर्धवटराव Sun, 06/10/2012 - 15:43
>>त्या गणित पद्धतीच्या नावावरून एवढा गदारोळ का व्हावा हे खरचं माझ्या आकलनाबाहेरच आहे. -- मिपा वर "त्या" सारख्या विशीष्ट नावांची एलर्जी आहे एव्हढं साधं कळत नाहि होय तुम्हाला. अर्धवटराव

नाना चेंगट Sun, 06/10/2012 - 15:14
>>>त्या गणित पद्धतीच्या नावावरून एवढा गदारोळ का व्हावा हे खरचं माझ्या आकलनाबाहेरच आहे. हॅ ! त्याशिवाय पुरोगामित्व कसे सिद्ध होणार? समझता नही यार !!

सुहास पाटील Tue, 09/02/2014 - 14:19
पूर्णपणे सहमत. जे calculator वापरून गुनाकार करणार असतील त्यान्च्या साठी हे नहि. हे शाळेतील मुलांना फार आवडेल गुनार करायला सोपे

मृगनयनी Sat, 06/09/2012 - 12:19
छान माहिती दिल्याबद्दल पर्ल-ताईचे आभार! "गणेश" आणि "वैदिक" या दोन शब्दांमुळे या गुणाकारपद्धतीला एक वेगळेच पावित्र्य प्राप्त झाल्यासारखे वाटते! :)

विकास Fri, 06/08/2012 - 18:39
प्रतिक्रियेत कन्सिस्टन्सी असलेली चांगली असते. नाहीतर माणूस विम्झिकल आहे असे समजले जाते. वरील वाक्य संदर्भाप्रमाणे बदलू शकेल... प्रतिक्रियेत कन्सिस्टन्सी असली की माणूस पक्षनिष्ठ असतो नाहीतर माणूस स्वतंत्र विचारसरणीचा असतो असे देखील समजले जाऊ जाते. :-)

राजघराणं Fri, 06/08/2012 - 12:00
१] वैदिक हा इथे काल आहे, विचारसरणी नाही. २] वैदिक कालात गुणाकाराच्या पद्धती काय असत एवढाच हा धागा आहे. ३] मायन कॅलेंडरची तुलना गुरव कॅलेंडरशी करणे... किंवा वैदिक गुणाकाराची तुलना गुरव गुणाकाराशी करणे दोन्हीही हास्यास्पदच

नितिन थत्ते Fri, 06/08/2012 - 12:07
१] वैदिक हा इथे काल आहे, विचारसरणी नाही. त्यामुळे पुरोगामियांनि रुष्ट होणियाचे कारण नाही. या धाग्यावर अजूनतरी विचारसरणीची कसली चर्चा झालेली नाही. २] वैदिक कालात गुणाकाराच्या पद्धती काय असत एवढाच हा धागा आहे. एवढाच नाही. "दोन कितीही आकडी संख्यांचा गुणाकार या खूप सोप्या पद्धतीने खूप जलद करता येतो." असे विधान आहे. ३] मायन कॅलेंडरची तुलना गुरव कॅलेंडरशी करणे... किंवा वैदिक गुणाकाराची तुलना गुरव गुणाकाराशी करणे दोन्हीही हास्यास्पदच. क्र २ मधले विधान आहे म्हणून तुलना करावी लागते. ४] मायन संस्क्रुतीतले नरबळी किंवा वैदिकातल्या "इतर" अनिष्ट प्रथा याचा कॅलेंडर किंवा गणिताशी संबंध जोडणे म्हंजी जरा अतिच या धाग्यावर कोणी जोडला आहे का? . . . कन्फ्यूज्ड.. (नितिन थत्ते)

राजघराणं Fri, 06/08/2012 - 12:36
वरील मुद्दे तुमच्यासाठी न्हवतेच. माझ्या लिहिण्यात काहितरी चूक झाली असावी मुद्दा क्रः १) हा सुनिल साठी होता २) असो. मान्य ३) हो तशीच तुलना करू नये म्हणून धागाकर्त्यासठी होता ४) आधीच उडवला होता :-) धाग्याला शंभरीसाठी शुभेच्छा

सुनील Fri, 06/08/2012 - 19:10
पहिले दोन मुद्दे माझ्यासाठी आहेत म्हणून - इथे वैदिक हा शब्द काळाकरीता वापरला असेल - म्हणजे वैदिक काळात अशा प्रकारे गुणाकार करीत असत - तर, त्याचा ठोस पुरावा हवा. ज्या वैदिक काळात खुद्द वेददेखिल लिहिले गेले नव्हते, केवळ मौखिक पाठांतर केले जात असे, त्या काळात, भूर्जपत्रांवर (वा अन्य कशावर) चौकोन्-त्रिकोण काढून गुणाकार करीत, हे सहज पटण्यासारखे नाही. थोडक्यात, जर वैदिक हा शब्द वापरायचा असेल तर, एक तर कुठल्या वेदात ही पद्धत दिली आहे ते सांगितले पाहिजे अथवा त्या काळात असा गुणाकार करीत हे सप्रमाण सिद्ध केले पाहिजे. अन्यथा वैदिक हा शब्द वापरण्याचे प्रयोजन नाही. (हे कन्सिस्टंट मत नाही, सबळ पुरावा दिल्यास माझे मत बदलण्यास मी तयार आहे. :))

कवितानागेश Fri, 06/08/2012 - 17:21
ही कोष्ट्क मांडण्याची पद्धत बदलली तर खरोखरच सोपे होउ शकते. त्या त्रिकोणांमुळे कोष्टक विचित्र वाटतंय. एक प्रयत्नः एका संख्येत ४ आकडे आणि एकात ३ असल्यानी साधरण्पने उत्तर ७ आकडी येण्याचे शक्यता आहे. ( ६ किण्वा ८ पण येउ शकते, पण ७ कॉलम्स घ्यायला हरकत नाही. साधरनणपणे गुरव (थत्तेकाका पद्धत)पद्धतीनीच, पण बेरीज करणे सोपे जाईल अश्या पद्धतीनी कोष्टक मांडता येउ शकते. म्हणजे वर एक संख्या नुसती आणि उद्या रांगेत ६००नी गुणुन ४ ओळी, मग ४० नी गुणुन पुढच्या ४, मग ८ नी गुणुन पुढच्या ओळि असे भले मोठे कोष्टक तयार होईल. पण अजून मोठ्या , जास्त आकडी आकड्यासाठी हे असच त्रिकोणवाले कोष्ट्क सोपे जाईल.

विकास Fri, 06/08/2012 - 19:02
गणेश गुणाकार हा मला माझ्या चौथीत शिकल्याचे आठवते! कुणाला कोणची पद्धत सोपी वाटेल हे त्या त्या व्यक्तीवर अवलंबून असते. म्हणजे गणेश काय अथवा गुरव काय तुम्ही शकुंतलादेवींसमोर मांडले तर त्या कदाचीत म्हणतील, हे फारच क्लिष्ठ आहे, सरळ ९५३२ सहाशेचौशष्ठ अठ्ठा ६१७६७३६ उत्तर मिळू शकते! :-) मला गणेश गुणाकार सोपी वाटली होती आणि आजही वाटते कारण लहानपणी शिकली आहे. इतरांना इतर काही वाटत असले म्हणून काही बिघडत नाही आणि त्यांना कुणाला ही सोपी वाटत असली म्हणून काही वाटावे असे वाटत नाही... @सुनील: मोबाईल मधे पण कॅल्क्यूलेटर असलेल्या जमान्यात हे सव्यापसव्य कोण आणि कशासाठी करणार? त्या साठीचे एक मजेदार म्हणवत नाही पण स्वानुभव सांगतो.
मोबाईलच्या जमान्याच्या आधीचे आहे. तेंव्हा देखील डेस्क कॅल्युलेटर्स आणि डेस्कटॉप कॉमन होते. त्या वेळच्या माझ्या हापिसात माझे दोन मॅक्स पण होते. पण एका संध्याकाळी ती कंपनी ८०% जळून खाक झाली! सर्व काही गेले. त्याच दिवशी सकाळी माझी नव्याने केलेली लॅब दुसर्‍या दिवशी मला अक्षरशः शोधून देखील सापडत नव्हती... अमेरीकेत त्या वेळेस ती मोठी न्यूज झाली होती कारणे कधीतरी नंतर... वर्कर्सना काम नव्हते पण आमचे काम बदलले होते आणि वाढले होते. मी एकटाच तिथे सिव्हील इंजिनियर होतो. एका मेकशिफ्ट फॅसिलीटीत काम चालले होते - सुरवातीचे काही दिवस संगणक, कॅल्क्यूलेटर काय काहीच नव्हते... आणि एकूण नुकसान (बिल्डींग्जचे आणि इतर) किती झाले यावरून रफ कॅल्क्युलेशन्स करायची होती. सगळेच आकडे सहा-सात-आठ अंकांचे... मग लक्षात येयचे कॅल्क्यूलेटर किमान घरातून आणायला हवा होता. मग त्यावेळेस मला सोपे काय वाटायचे तर हा गणेश गुणाकार.
तात्पर्यः थोडे वरील चर्चेसंदर्भात अवांतर वाटेल कदाचीत. पण साध्या शब्दात मशिन ऐवजी डोके चालवायची आणि त्यासाठी डोक्याने चालवायच्या पद्धतींची सवय कायम ठेवावी लागते. फक्त गणित अथवा गुणाकारातच नाही तर इतर अनेक ठिकाणी.

नाना चेंगट Fri, 06/08/2012 - 19:09
>>>पण साध्या शब्दात मशिन ऐवजी डोके चालवायची आणि त्यासाठी डोक्याने चालवायच्या पद्धतींची सवय कायम ठेवावी लागते. फक्त गणित अथवा गुणाकारातच नाही तर इतर अनेक ठिकाणी. सहमत आहे.

पैसा Fri, 06/08/2012 - 19:21
मशिन ऐवजी डोके चालवायची आणि त्यासाठी डोक्याने चालवायच्या पद्धतींची सवय कायम ठेवावी लागते. फक्त गणित अथवा गुणाकारातच नाही तर इतर अनेक ठिकाणी.
पटलं. साधारण १०/१५ वर्षांपूर्वी आमच्या बँकेत पूर्ण संगणकीकरण झालं नव्हतं, तेव्हा सगळ्या खात्यांचे बॅलन्स आम्ही हाताने लिहून काढून टॅली करत असू. तेव्हा कॅलक्युलेटर्स आणि फॅसिट मशिन्स होती, पण माझा कॅलक्युलेटरच्या बेरजेवर कधीच विश्वास नसे. कधीतरी कॅल्क्युलेटरवर बेरीज मारलीच तर हमखास चुकायची आणि मग तोंडी तीच बेरीज केली की बरोबर उत्तरं यायची असा अनुभव.

सुनील Fri, 06/08/2012 - 19:33
किस्सा पटला. आजही लहानसहान आकडेमोडी कॅल्क्युलेटरपेक्षाही तोंडी पाढे म्हणून चटकन होतात!

३_१४ विक्षिप्त अदिती Sat, 06/09/2012 - 05:50
सुनीलशेट, म्हणा पाहू २३ चा पाढा! तो येत असेल ३१४ चा पाढा म्हणा पाहू! ;-) (आता खातेय मार.) आमच्या कामात तोंडी 'order of magnitude'* उत्तरं शोधण्याचा बराच फायदा होतो. पुढे कंप्यूटर वापरून उत्तरं ताडून पहाता येतातच आणि/किंवा अ‍ॅक्यूरसी भरपूर वाढते. पण त्यात आम्ही गणेश आणि गुरव दोन्ही गुणाकार न करता ओम (order of magnitude) पद्धत वापरतो. ९५३२X६४८ चं उत्तर ९०००*६०० आणि १००००*६५० याच्या अधेमधे काहीतरी असेल अशी आमची पद्धत आहे. आता याचंच व्यावहारिक उदाहरण. फळांचा भाव ९५.३२ रूपये नसतो, ९०, ९५ किंवा १०० असतो. फळवाल्यांकडे डिजीटल वजनकाटा नसतो, असला तरी त्यातही राऊंडींग होतं. त्यामुळे फळं ६००, ६५० किंवा ७०० ग्रॅम मिळतील. मग ९५३२X६४८ हा गुणाकार रस्त्यावर उभं राहून केळी खाण्यासाठी निरूपयोगीच आहे. केळी खाताना हा गुणाकार करायचा नसेल तर खिशातून किंवा पर्शीतून मोबाईल काढून गुणाकार करायला हात मोकळे असतातच. (केळ्याने होत आहे रे -- जय प्रभूमास्तर) भाजी, फळं वगैरे विकत घेताना १० पर्यंतचे पाढेही पुरेसे असतात. असो. हाफिस जळलं तर पुढच्या वेळेस 'क्लाऊड'मधून पाऊस पाडून आग विझवता येईल. *order of magnitude यात १ आणि ९ यात फरक समजला जात नाही. खरं उत्तर ३.१४ असेल आणि तोंडी गणितात ३१ आलं तर चूक, १३ चालून जाईल आणि १ ते ९च्या मधे असेल तर चोक्कस. अवांतरः पाढे पाठ असल्यामुळे एकेकाळी, साहेबाच्या देशात, १०० च्या आतल्या संख्यांचे मूळ भाग (prime factors) चटाचटा सांगितल्यामुळे चिक्कार कूल पॉईंट्स मिळाले आहेत.

विकास Sat, 06/09/2012 - 11:19
हाफिस जळलं तर पुढच्या वेळेस 'क्लाऊड'मधून पाऊस पाडून आग विझवता येईल. असला विनोद वेळ आली तर सुचणार नाही... म्हणूनच म्हणतात, ज्याचं जळतं त्यालाच कळतं. असो.

३_१४ विक्षिप्त अदिती Sat, 06/09/2012 - 21:43
फोटोग्राफी स्वस्त झाल्यामुळे फोटो काढण्याचं कौशल्य महत्त्वाचं नसून फ्रेमिंग, चित्रातून काय दाखवायचं आहे ते महत्त्वाचं ठरत आहे असं कालच मिपावर कुठेतरी वाचलं. त्याच चालीवर आकडेमोड करणं स्वस्त झाल्यामुळे कशी आकडेमोड केली यापेक्षा आकडेमोड करून काय साध्य केलं त्याला अधिक महत्त्व आलेलं आहे. आगीत नाही, पण पावसाचं पाणी घरात शिरल्यामुळे भावनिक किंमत असणार्‍या जुन्या फोटोंपासून ते पैशांतही किंमत असणार्‍या महागड्या पुस्तका, उपकरणांपर्यंत अनेक गोष्ट निकामी, कचरा होताना मी अनेकदा पाहिल्या आहेत. खिशात मोबाईल्स नाहीत हा ही आता जुना जमाना आहे. जुन्या जमान्यात जे उपयुक्त होतं ते आजही तेवढंच उपयुक्त असेलच असं नाही एवढाच मुद्दा होता. आज माझ्या घरात पुन्हा त्याच वेगाने पाणी शिरायला लागलं किंवा आग लागली किंवा आणखी काहीही आपत्ती आली तरी एक एक्स्टर्नल हार्ड ड्राईव्ह हातात घेऊन पळ काढता येईल.

विकास Sun, 06/10/2012 - 07:34
फोटोग्राफी स्वस्त झाल्यामुळे फोटो काढण्याचं कौशल्य महत्त्वाचं नसून फ्रेमिंग, चित्रातून काय दाखवायचं आहे ते महत्त्वाचं ठरत आहे असं कालच मिपावर कुठेतरी वाचलं. मिपा हे संदर्भ देण्याचे साधन आहे हे आत्ताच कळले.! आता अनेक रोचक संदर्भ देता येतील. ;) जुन्या जमान्यात जे उपयुक्त होतं ते आजही तेवढंच उपयुक्त असेलच असं नाही एवढाच मुद्दा होता. नेहमीसाठी म्हणाल तर सहमत आहे. पण जेंव्हा अचानक काहीच (अधुनिक) साधन हातात नसते तेंव्हा लहानपणी शिकलेल्या अशा ट्रीक्स (येथे गणेश गुणाकार) पण उपयोगी ठरू शकतो असे नक्की वाटते. आज माझ्या घरात पुन्हा त्याच वेगाने पाणी शिरायला लागलं किंवा आग लागली किंवा आणखी काहीही आपत्ती आली तरी एक एक्स्टर्नल हार्ड ड्राईव्ह हातात घेऊन पळ काढता येईल. "तक्षक हा बोरातून पण येऊ शकतो." :-) आता हे केवळ वाक्प्रचार म्हणून घ्या. सांगण्याचा उद्देश इतकाच की अशा वेळा सांगून येत नाहीत. त्या वेळेस घरात नसाल तर काय होईल? इतकेच कशाला हॅकर्सने हॅक केल्याने गुगल-याहू वगैरेंची इमेल्स अकाउंट बंद पडून डेटा हरवलेले देखील पाहीले आहेत... (अती अवांतरः मी वर दिलेल्या उदाहरणात माझी नवी कोरी लॅब आणि त्यातील माझे संगणक नष्ट झाले. केवळ माझेच मॅक चे असल्याने त्या वेळच्या तंत्रज्ञानानुसार ते सर्वरशी न जोडल्याने बॅक अप न होऊ शकल्याने माझा ४ वर्षाचा रीसर्च जळून खाक झाला होता. काही आधीच्या प्रींटस घरी वगैरे असल्याने मिळू शकला, पण काहीच. तरी देखील त्याच्याच पासून दहा पावलावर असलेली खोली थोडीफार वाचली ज्यात माझे एक पर्यावरण विषयावरील पुस्तक होते. ते जसेच्या तसे पण काजळीने अच्छादलेले राहीले होते. ते आठवण म्हणून घेऊन आलो. आज सतरा वर्षे झाली तरी आगीचा ताजा वास त्या पुस्तकास आहे.)

३_१४ विक्षिप्त अदिती Wed, 06/13/2012 - 00:20
मिपा हे संदर्भ देण्याचे साधन आहे हे आत्ताच कळले.! आता अनेक रोचक संदर्भ देता येतील.
असं म्हणा हवं तर! आपल्या सोयीपुरते संदर्भ देणं सगळीकडेच चालतं, मिपा लहान त्यामुळे हा प्रकार इथे कमी प्रमाणात. असो. मी मला आवडलेला विचार उद्धृत करताना मी इतर कोणाकडूनतरी तो उचलला हे सांगितलं एवढंच. अलिकडच्या काळात तसाच विचार मिपावरही दिसला, याचा अर्थ तो विचार सामान्यांनाही पटायला लागला आहे असा समाजशास्त्रीय विचारही मांडता येईल. पण असो. ते अवांतर झालं.

विकास Wed, 06/13/2012 - 00:28
मी मला आवडलेला विचार उद्धृत करताना मी इतर कोणाकडूनतरी तो उचलला हे सांगितलं एवढंच. अलिकडच्या काळात तसाच विचार मिपावरही दिसला, याचा अर्थ तो विचार सामान्यांनाही पटायला लागला आहे तुम्ही स्वतःला सामान्य समजता?

३_१४ विक्षिप्त अदिती गुरुवार, 06/14/2012 - 01:20
असामान्य लोक वेगळ्या गोष्टी करत नाहीत, वेगळ्या पद्धतीने (त्याच) गोष्टी करतात, (कॉरा-बहुदा शिव खेरा) असं विधान अलिकडेच फेसबुकावर वाचलं. गुणाकार-भागाकाराची आमची ओम पद्धत मी इतरांकडूनच शिकले आणि भरपूर लोक ओम पद्धत वापरतात. तेव्हा मी सामान्य आहे हे मी पुराव्यानिशी पटवून दिलेलं आहे का नाही?

परिकथेतील राजकुमार Fri, 06/08/2012 - 19:42
तेव्हा कॅलक्युलेटर्स आणि फॅसिट मशिन्स होती, पण माझा कॅलक्युलेटरच्या बेरजेवर कधीच विश्वास नसे. कधीतरी कॅल्क्युलेटरवर बेरीज मारलीच तर हमखास चुकायची आणि मग तोंडी तीच बेरीज केली की बरोबर उत्तरं यायची असा अनुभव.
तुम्ही भारतीय कायम तंत्रज्ञान आणि त्याच्या वापरात मागासलेलेच राहणार. गेल्या आठवड्यात मी जर्मनीत असताना मिपावरचे २ प्रतिसाद कॅलक्युलेटर वरूनच दिले होते. सो इझ !

कवितानागेश Sat, 06/09/2012 - 10:16
मिपावरचे २ प्रतिसाद कॅलक्युलेटर वरूनच दिले होते> इथे प्रात्यक्षिक दाखवा की. आम्हाला गरीबाला कळू दे की कुणासाठी, कुठे, कशी आणि कोण कोण वापरून कॅल्कुलेशन्स करायची ते! ;)

दादा कोंडके Tue, 06/12/2012 - 23:44
शाळेत असताना लक्ष्मण गोगावले नावाचा अतिशिघ्र आकडेमोड (हो, गणिती म्हणल्यावर पब्लिक वस्सकन अंगावर येइल) करणारा आला होता. तो असेच लांबलचक गुणाकार, भागाकार वगैरे करायचा. यांना ट्रिका माहिती असतात असं वाटतं. कारण बाकिच्या बाबतीत ही लोकं सामान्यच असतात. आणि गणकयंत्राच्या जमान्यात याचा उपयोग काय? अर्थात गंमत म्हणून ठिकय. खसखसाच्या दाण्याची आणि बिरबलाची गोष्ट आठवली.

दादा कोंडके Wed, 06/13/2012 - 23:10
पाहुण्यांच्या खरडीनुसार बिरबलाची* गोष्ट सांगतो, अकबराच्या दरबारात गावोगावची करामती लोकं येउन आपापली कला दाखवून इनाम मिळवून जात. एकदा असाच एक माणूस आला त्याने वाटीत खसखस आणि एक सुई मागितली. ते आल्यानंतर ती सुई सफरचंदात टोचवून ४-५ फुटांवरून एक खसखसाचा दाणा त्या सुईच्या भोकातून नेम धरून आरपार घातला. पब्लीक वेडं झालं. त्याने लागोपाठ १०-१५ दाणे तशेच फेकले व विजयी मुद्रेने अकबराकडे पाहिलं. अकबर पण एकदम खूष. पण बिरबालाचं मिस्कील हसणं पाहून त्याने बिरबलाला त्या माणसाला बक्षीस देण्याची आज्ञा केली. बिरबलानं एका सेवकाच्या कानात काहितरी सांगितलं. तो सेवक एक पिशवीभर खसखस घेउन आला. अकबरानं आश्चर्याने याचं कारण विचारलं. त्यावर बिरबल म्हणाला, "असं करू शकणारी लोकं जगात खूप कमी असतील. पण याचा फायदा काय? अंगात कुठलिही कला नसलेले शेतकरी, लोहार, चांभार माझ्या दृष्टीने जास्तं महत्वाचे आहेत" :) *आता हा बिरबल अकबराच्या इतिहासात कुठून आला ते विचारू नये. पब्लिक लै चाप्टर हाये. "वैदिक" सारखा शब्द उगिच सोडून द्यायचा. कुणी ऑब्जेक्शन घेतलं की मजेदार गोष्ट सोडून नको तिथं लक्ष देउ नकोस म्हणायचं. आणि एकदाका हे रुळलं की डायरेक इतिहासातच घुसवायचा! :)

राजेश घासकडवी Tue, 06/12/2012 - 18:40
ही गुणाकार पद्धती मीही चौथीत शिकलो होतो. पण त्यावेळी ती वैदिक वगैरे कोणी म्हटलेली नव्हती. माझ्याकडे वेदिक मॅथेमॅटिक्स नावाचं पुस्तक आहे, त्यात कुठेही या पद्धतीचा उल्लेख नाही. मला वाटतं त्या पद्धतीचं नाव बघून हे काहीतरी पुराणकाळाशी संबंधित असावं असा लोकांनी अंदाज बांधला असावा. या दुव्यावर या पद्धतीचा प्रथम लिखित उल्लेख तेराव्या शतकात दिसून येतो असं लिहिलं आहे. इटालियन भाषेत त्याला गेलोश्या (gelosia) पद्धत म्हणतात. भारतात त्याचा अपभ्रंश 'गणेश' झाला असावा. तेव्हा केवळ नावावरून इतर संस्कृतींनी लावलेले शोध आमचेच असं म्हणणं कितपत योग्य आहे? नशीब तो अपभ्रंश गेयशा गुणाकार झाला नाही. नाहीतर ही जपानी पद्धत आहे असंही म्हटलं असतं काहींनी.

नाना चेंगट Tue, 06/12/2012 - 18:43
>>या दुव्यावर या पद्धतीचा प्रथम लिखित उल्लेख तेराव्या शतकात दिसून येतो असं लिहिलं आहे अच्छा ! विकिपिडीया का ? बर बर !

राजेश घासकडवी Tue, 06/12/2012 - 19:20
मग तुम्ही द्या की दुवा सनातन प्रभात वगैरेचे, हा गुणाकारच काय पण कॅल्क्युलस, सापेक्षतावाद आणि क्वांटम मेकॅनिक्स वगैरे सगळंच वैदिक असल्याचं.

नाना चेंगट Wed, 06/13/2012 - 11:39
सनातन प्रभातचा आणि आमचा काय संबंध ? फार त्रास होत आहे का तुम्हाला भारतीय अभिव्यक्तीचा, पुर्वजांच्या ज्ञानाचा वगैरे ? वैदिक म्हटले की पोटशुळ उठतो का? तुमचेच दुवे घेत विकास यांनी काय लिहिले आहे ते वाचा आणि महत्वाचे म्हणजे इनो घ्या ! तुम्हाला ह्या धाग्यावर माझा शेवटचा प्रतिसाद. या प्रतिसादाला उत्तर दिले तरी मी देणार नाही हे नक्की म्हणजेच श्रामोंच्या भाषेत तुम्हाला पावशेर टाकण्याची संधी आहे. लाभ घ्या आणि खुश व्हा !!

राजेश घासकडवी गुरुवार, 06/14/2012 - 19:16
तुमच्या पुराणमतवादी धार्मिक भावना दुखावल्या असतील तर त्याबद्दल तुमची जाहीर क्षमा मागतो. पण असे तणतणू नका हो. काळजी वाटते.

नितिन थत्ते Tue, 06/12/2012 - 19:36
धागाप्रस्तावकांनी 'प्रत्यक्ष गुणाकार करून मग ठरवा' असे म्हटले होते. त्याप्रमाणे मी दोन्ही प्रकारे प्रत्यक्ष गुणाकार करून त्या प्रयोगाचे निष्कर्ष लिहिले होते. त्याकडे सर्वांचे दुर्लक्ष झाले आहे. [वैदिक शब्द आल्यामुळे त्यावर टीका आणि वैदिक शब्दावरच्या टीकेचा प्रतिवाद व्हायलाच हवा या समजुतीमुळे प्रयोग बाजूलाच राहिला].

विकास Tue, 06/12/2012 - 20:14
मी माझा अनुभव आधीच सांगितला होता. तसेच इतरांनी देखील सांगितला आहेच. त्या व्यतिरीक्त याच संदर्भात शोध निबंधांचे दुवे देखील दिले आहेत. पण त्याकडे "अरेरे, दुर्लक्ष झालेले दिसतयं" :-)

नितिन थत्ते Fri, 06/15/2012 - 13:43
तुमचा अनुभव नुसता "पूर्वी (अनेक वर्षांपूर्वी) जेव्हा गणेश गुणाकार कोणीतरी सांगितला तेव्हा तो सोपा वाटला होता..." अशा प्रकारचा सब्जेक्टिव्ह सांगितला होता. मी आत्ता प्रत्यक्ष प्रयोग करून तुलना सांगितली त्याकडे दुर्लक्ष झाले असे म्हणायचे होते. तुम्ही शोधनिबंधाचे दुवे दिले आहेत त्यावरून ही गणेश पद्धत (आणि इतर वैदिक पद्धती) कॉम्युटरला चांगली वगैरे स्वरूपाचे लेख दिसतात. परंतु आपला विषय (आणि धागाप्रस्तावकाचा हेतुसुद्धा) कॉम्प्युटरला काय सोपे पडते/ऊर्जा कमी लागते हा नसून गणेश गुणाकार हा मॅन्युअल कॅलक्युलेशन करताना गुरव गुणाकारापेक्षा सोपा आणि लवकर होणारा आहे का हा आहे. त्याबद्दल दुव्यांतून काही माहिती मिळाली नाही. टीप : पाढे पाठ असतील तर छोट्या आकडेमोडीस फायदा होतो या बद्दल काही आक्षेप नाही. माझा आक्षेप फक्त गणेश* गुणाकार हा गुरव गुणाकारापेक्षा अधिक झटपट होतो या दाव्याला आहे. * स्पष्टीकरण - सदर गुणाकाराचे नाव जीझस, पास्कल, न्यूटन, अल्ला काहीही असले तरी तो गुरव गुणाकारापेक्षा अधिक वेळखाऊ आहेच. अवांतर : ० -१ ची संख्या पद्धत कॉम्युटरला चालते म्हणून दशमान पद्धत सोडून द्विमान पद्धत वापरावी का?

विकास Fri, 06/15/2012 - 19:32
थोडा अधिक शब्द्दच्छल :) मी आत्ता प्रत्यक्ष प्रयोग करून तुलना सांगितली त्याकडे दुर्लक्ष झाले असे म्हणायचे होते. दुर्लक्ष नाही झाले हो, पण विज्ञानवादी होयचे असेल तर केवळ एकाच प्रयोगाकडे बघून कसे चालेल. :-) ते देखील मूळ चर्चेशी प्रत्यक्ष संबंध नसताना... त्यात देखील तुम्हाला २-१० पाढे किती पटकन म्हणता येतात, बेरजा करताना किती वेळ लागतो, उभ्या, आडव्या, तिरप्या रेषा मारताना किती वेळ लागतो याच्याशी इतर अनेकांशी तुलना करून मग सांख्यिकी तत्वांचा वापर करून ते "मॅन्युअल कॅल्क्यूलेशन" साठी तुम्ही म्हणत असलेल्या "गुरव गुणाकारा"पेक्षा जलद आहे का यावर चर्चा करता येईल. नाहीतर तुमचा अनुभव ("हा गुणाकार प्रकार वेळखाऊ आहेच") सब्जेक्टीव्हच आहे असे म्हणता येईल. आणि त्याबाबत मी माझ्या पहील्याच प्रतिसादात म्हणले आहे, "कुणाला कोणची पद्धत सोपी वाटेल हे त्या त्या व्यक्तीवर अवलंबून असते." थोडक्यात तुम्ही जे काही निष्कर्ष काढलात तो सायंटीफिक नसल्याने ग्राह्य धरता येत नाही. ;) बर मुळ चर्चाप्रस्तावात म्हणले आहे, "दोन कितीही आकडी संख्यांचा गुणाकार या खूप सोप्या पद्धतीने खूप जलद करता येतो." कशाबरोबर वगैरे काहीच म्हणलेले नाही... त्यामुळे मग त्याच्याबद्दलची तुलना ही algorithm म्हणून केल्यास योग्य ठरेल असे वाटले होते. म्हणून म्हणतो: आपण जे म्हणाता, " माझा आक्षेप फक्त गणेश* गुणाकार हा गुरव गुणाकारापेक्षा अधिक झटपट होतो या दाव्याला आहे. " हा दावा नक्की कोणी आणि कुठे केला आहे हे संदर्भासहीत सांगू शकाल का? का संदर्भ हे केवळ गणेश नाव कसे आले, वैदीक कशावरून वगैरे म्हणल्यावरच असतात? अगदी तुमच्या मुळ दाव्यासंदर्भात देखील ज्यांनी उत्तरे दिली आहेत, त्यात अगदी Pearl यांनी देखील,"आणि सगळ्यांना ही पद्धत सोपी वाटावी, त्यांनी वापरावी असा आग्रह नाही. मला ही पद्धत आवडते, सोपी वाटते" असेच म्हणलेले आहे. ० -१ ची संख्या पद्धत कॉम्युटरला चालते म्हणून दशमान पद्धत सोडून द्विमान पद्धत वापरावी का? परत मूळ चर्चाप्रस्ताव आणि ज्यांना कुणाला गणेश गुणाकार सोपा वाटतो त्यांनी इतरांनी तोच वापरावा असे म्हणले आहे का शाळेत तोच शिकवावा असे म्हणले आहे? मग हा हट्ट का की गणेशगुणाकार कुणीच स्वेच्छेने देखील वापरू नये अथवा आपल्याला माहीत असलेले सांगू नये?

विकास Tue, 06/12/2012 - 20:12
Lattice multiplication या विकीवरील दुव्यावरील माहिती जर नीट वाचली तर तेथेच लिहील्याप्रमाणे, "The mathematician and educator David Eugene Smith asserted that lattice multiplication was brought to Italy from the Middle East. This is reinforced by noting that the Arabic term for the method, shabakh, has the same meaning as the Italian term for the method, gelosia, namely, the metal grille or grating (lattice) for a window." अर्थात ती इटलीत शोधली गेली नव्हती तर नुसती लिखित स्वरूपात पहील्यांदा आढळली, ती देखील युरोपिअन्सना आढळली ज्यांनी हे लिहून ठेवले... त्याच विकीपानावर या पद्धतीचा उल्लेख हा हिंदू लॅटीस असा देखील केलेला सुरवातीसच दिसला म्हणून अधिक शोधले तेंव्हा खालील माहिती मिळाली:
These methods were introduced into Europe by Fibonacci. He was an Italian who learnt the use of Arabic numerals from a Moorish teacher in North Africa. Before the Hindu-Arabic system was used in Europe, multiplication was often done with counters because Roman numerals were ill-suited to calculation and very few people knew how to multiply. The Hindu-Arabic system has made calculation fairly simple.
(संदर्भः ऑस्ट्रेलीयन सरकारचे शैक्षणिक खाते आणि त्यांनी ते लिहीण्यासाठी वापरलेले संदर्भः National Library of Virtual Manipulatives. Utah State University - http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html Teaching Mental and Written Computation. (Version 1.1) University of Melbourne (CD-ROM). Stacey, K., Varughese, N., Marston, K. (2003) - http://extranet.edfac.unimelb.edu.au/DSME/tmwc/ )

नितिन थत्ते Wed, 06/13/2012 - 10:48
>>Lattice multiplication या विकीवरील दुव्यावरील माहिती जर नीट वाचली तर तेथेच लिहील्याप्रमाणे, "The mathematician and educator David Eugene Smith asserted that......... अच्छा ! विकिपिडीया का ? बर बर ! (ह घ्या)

विकास Wed, 06/13/2012 - 16:32
मझा प्रतिसाद हा विकीसंदर्भातील मूळ प्रतिसादासंदर्भातच होता. त्याला परत उपप्रतिसाद येत तिरके तिरके जाऊ लागले की वाचायला त्रास होतो म्हणून खाली लिहीला होता. म्हणून तर मी, "माहिती जर नीट वाचली" असे म्हणले होते. :-)

आनंदी गोपाळ Fri, 06/15/2012 - 22:51
माझा अन गणिताचा संबंध १२वीत संपला. पण, चर्चा वाचतो आहे, अन वैदिक वरचा भावनिक घोळ पाहून हसतोही आहे. तुम्ही जे 'हिंदू लॅटीस' म्हणून टंकले, व रेफरन्सही दिला, त्यातही,
Before the Hindu-Arabic system was used in Europe, multiplication was often done with counters because Roman numerals were ill-suited to calculation and very few people knew how to multiply. The Hindu-Arabic system has made calculation fairly simple.
असे हिंदू-अरेबिक म्हटले आहे. या अरेबिकला कलटी का मारलीत? खरे तर भारतातील गणित अरबस्तानात गेले नसते तर अ‍ॅझटेक लोकांच्या खगोलशास्त्रासारखेच गायब झाले असते. अल-जब्रा असं जब्रा नांव असलेलं पुस्तक होतं. मग ते युरोपात गेलं. आपल्याकडे 'त्या' काळी प्रगती नव्हती असे कुणीच म्हटले नाहिये. पण म्हणून त्याचा दुराभिमान का?? वैदिक, अबॅकस इ. शब्द वापरून लहान मुलांना गणित शिकविण्याची जी दुकाने आजकाल चालविली जाताहेत ती तुम्हाला दिसत नाहियेत का? त्यातून फक्त लूट अन मुलांवर अवास्तव ताण येण्याशिवाय काहीही उपयोग होताना दिसत नाही, असे माझे निरिक्षण आहे. त्या बद्दल तुमचे काय म्हणणे आहे? मला वाटते 'वैदिक' शब्दाचा वापर करून भावनिकरित्या लोकांना उत्तेजित करून काही तरी लै सिक्रेट गणित शिकवतो आहोत ब्वा, अन हे शिकलात तर तुमची पोरे डायरेक्ट ज्ञानेश्वरच होणार असल्या जाहिरातींना आळा बसावा म्हणून इथे 'वैदिक'ला विरोध करणारे बोलत असावेत. अवांतरः बाकी घरोघरी ज्ञानेश्वर जन्माला आलेत तर उत्तमच, पण मला तरी माझे पोर १६व्या वर्षी आत्महत्त्या करून मेलेले रुचणार नाही... ***रच्याकने: हा १००वा प्रतिसाद होता***

नाना चेंगट Sat, 06/16/2012 - 10:59
>>>>अवांतरः बाकी घरोघरी ज्ञानेश्वर जन्माला आलेत तर उत्तमच, पण मला तरी माझे पोर १६व्या वर्षी आत्महत्त्या करून मेलेले रुचणार नाही... अत्यंत थिल्लर वाक्य.

आनंदी गोपाळ Sat, 06/16/2012 - 12:52
तुम्हाला थिल्लर वाटले म्हणून ते तसेच असेल असे नाही. बाकी मुख्य मुद्याला बगल त्यांनी मारायच्या आत तुम्ही अवांतर सुरु केलेत ते पाहून मज्जा आली. चालूद्यात! तुमच्या मित्रांची पाठराखण तुम्ही करायची नाहीत तर कुणी? ;)

नाना चेंगट Sat, 06/16/2012 - 15:40
समजु शकतो मी तुमची तडफड !! तुम्ही म्हणता त्याच चालीवर तुम्हाला वैदिक गणित (किंवा जे काही असेल ते ) बोजड वाटले म्हणजे ते तसेच असू शकते असे नाही, ते केवळ तुमचे मत आहे. त्यामुळेच त्याचा प्रतिवाद करण्याची मला आत्ता तरी गरज वाटली नाही कारण आधीच बराच काथ्या या धाग्यावर कुटला गेला आहे. बाकी राहिले आत्महत्या या कृतीविषयी त्यात समाधी घेणं आणि आत्महत्या या कृतींमधे प्रचंड अंतर आहे ते तुम्हाला समजेलच असे नाही. तेव्हा नेहमीप्रमाणे हिंदू, भारतीय, संत याबाबत गरळ ओकण्यासाठी शुभेच्छा !! :)

दादा कोंडके Sat, 06/16/2012 - 13:37
अवांतरः बाकी घरोघरी ज्ञानेश्वर जन्माला आलेत तर उत्तमच, पण मला तरी माझे पोर १६व्या वर्षी आत्महत्त्या करून मेलेले रुचणार नाही...
हा हा. :) माझा एक ऑटोमोबील डायहार्ड फॅन असलेला (हिरव्या देशात गेलेला) मित्र, 'निकोलस जोसेफ, फोर्ड' वगैरे मंडळी भींत पळवणार्‍या ज्ञानेश्वरांपेक्षा कितीतरी श्रेष्ठ आहे असं म्हणतो. उलट आता दळणवळणांची साधनं असतानासुद्धा पायपीट करत, वाटेत येणारी गावं घाण करत पंढरपूरला येण्याची घाणेड्र्या पंप्रेलासुद्धा संतमंडळींनाच जबाबदार ठरवतो! आता बोला.

नाना चेंगट Sat, 06/16/2012 - 15:33
अरे वा ! आषाढी एकादशी जवळ आली वाटतं ! नाही म्हणजे येनकेनप्रकारेण चिखल फेक सुरु झाली म्हणून म्हटलं. ज्ञानोबांनी भिंत पळवली की नाही हे आम्हास ठावं नाही पण गाड्यांची बेसुमार पैदाईश करणारी फोर्ड वगैरे मंड्ळी पर्यावरणाची वाट लावणारी वाटतात असं आम्हाला वाटतं ! आता बोला !!! असो.

परिकथेतील राजकुमार Sat, 06/16/2012 - 15:38
अरे वा ! आषाढी एकादशी जवळ आली वाटतं ! नाही म्हणजे येनकेनप्रकारेण चिखल फेक सुरु झाली म्हणून म्हटलं.
गटारी अमावस्या + धूळवड रे नाना. आपल्या संस्कृतीला, धर्माला चार शिव्या घातल्या की अन्न गोड लागते अगदी.

दादा कोंडके Sat, 06/16/2012 - 16:56
धर्म आणि संस्कृती या मलाही आपल्या वाटतात. पण धर्म आणि संस्कृती म्हणजे काय याबद्दल मतभेद असू शकतात! :) संस्कृती, परंपरा, धर्म हे सगळं समाजासाठी असतं. अनेक शतकांपुर्वी काही हुशार लोकांना यासाठी देवाची गरज वाटली. त्यानुसार त्यांनी तशी रचना केली. पण आता समाजासाठी 'दैव' ही संकल्पना मोडीत काढून 'वैज्ञानिक दृष्टीकोन' हवा आहे असं माझं सपष्ट मत आहे.

आनंदी गोपाळ Sun, 06/17/2012 - 14:26
स्वतःचे हुशार पोर १६व्या वर्षी गमावणे, हे कोणत्याही बापाकरता वाईटच. मग ते कोणत्याही कारणाने असो. ज्ञानेश्वरी लिहून समाधी म्हणा, की सीईटी चा स्कोअर कमी आला म्हणून घेतलेले गळफास म्हणा. 'घरोघरी ज्ञानेश्वर जन्मून १६ व्या वर्षी मरू लागलेत तर कसे व्हावयाचे' हे अवांतर होते. त्यात संस्कृतीला शिव्या दिसत असतील, तर तो तुम्हा डुढ्ढाचार्यांच्या चष्म्याचा दोष आहे असे म्हणतो.

विकास Sat, 06/16/2012 - 20:42
काहीतरी गडबड होत आहे. हा प्रतिसाद आनंदी गोपाळ यांच्या या प्रतिसादास आहे. या अरेबिकला कलटी का मारलीत? माझा प्रतिसाद नक्की कशाच्या संदर्भात दिला आहे ते वाचले तर याचे उत्तर मिळेल. तसेच या संदर्भात अधिक माहिती माझ्या इतरही प्रतिसादातील वाचावीत आणि मग पुढचे प्रश्न विचारवेत ही विनंती. मग ते युरोपात गेलं. आपल्याकडे 'त्या' काळी प्रगती नव्हती असे कुणीच म्हटले नाहिये. पण म्हणून त्याचा दुराभिमान का?? मी जी काही माहिती आणि प्रतिसाद दिलेत ते अभिमान अथवा दुराभिमानाने दिलेत असे म्हणायचे आहे का? त्यातून फक्त लूट अन मुलांवर अवास्तव ताण येण्याशिवाय काहीही उपयोग होताना दिसत नाही, असे माझे निरिक्षण आहे. त्या बद्दल तुमचे काय म्हणणे आहे? विषय महत्वाचा आहे आणि यावर चांगली चर्चा घडू शकेल. तेंव्हा एक विनंती: एक नवीन चर्चाधागा चालू करावात, म्हणजे त्यावरच चर्चा होईल आणि येथे अवांतर घडणार नाही. मला वाटते 'वैदिक' शब्दाचा वापर करून भावनिकरित्या लोकांना उत्तेजित करून काही तरी लै सिक्रेट गणित शिकवतो आहोत ब्वा, अन हे शिकलात तर तुमची पोरे डायरेक्ट ज्ञानेश्वरच होणार असल्या जाहिरातींना आळा बसावा म्हणून इथे 'वैदिक'ला विरोध करणारे बोलत असावेत. काही कल्पना नाही... मात्र आपले मत एकेरी आहे आणि कुठली तरी अढी मनात ठेवून सरसकट सगळ्यांना एकाच मापाने तोलत आहे असे प्रथमदर्शनी वाटते. अवांतर होऊ नये म्हणून इतकेच. अधिक हवे असल्यास नवीन चर्चेत. अवांतरः बाकी घरोघरी ज्ञानेश्वर जन्माला आलेत तर उत्तमच, पण मला तरी माझे पोर १६व्या वर्षी आत्महत्त्या करून मेलेले रुचणार नाही... या वाक्याचा संदर्भ द्यावात ही विनंती.

आनंदी गोपाळ Sun, 06/17/2012 - 14:32
अढी वगैरे नाही हो. एकंदरितच 'वैदिक' शब्द पकडून जे काही चालू आहे ती गम्मत पाहून मग प्रतिसाद लिहिलेला आहे. ते वैदिक हे मुळातच प्रचण्ड अवांतर आहे. ते तेवढ्या एका शब्दानेच इथे इतके प्रतिसाद सुरू आहेत. त्या 'वैदिक' च्या नावाखाली बाजारात लोकांनी मांडलेली गणिताची दुकाने, अन तशाच प्रकारच्या इतर दुकानांतून तुमचे मूल अगदी ज्ञानेश्वरांसारखे जन्मणार बघा, फक्त आमचे 'गर्भसंस्कार करा', या व अशा भूलथापेला फसून पैसे देणार्‍या लोकांना, ज्ञानेश्वर १६व्या वर्षे 'गेले' हे ध्यानी यावे, असे मी अवांतरात म्हटले.

राजेश घासकडवी गुरुवार, 06/14/2012 - 04:39
Before the Hindu-Arabic system was used in Europe, multiplication was often done with counters because Roman numerals were ill-suited to calculation and very few people knew how to multiply.
अहो, इथे द हिंदु-अरेबिक सिस्टिम म्हटलं आहे ते गुणाकारपद्धतीविषयी नाही, तर शून्यावर आधारित दशमान पद्धतीबद्दल म्हटलं आहे. दशमान पद्धतीत एकंदरीतच गुणाकार सोपे होतात, तर रोमन आकडे (I, II,III, IV, V वगैरे) वापरून गुणाकार करणं म्हणजे महाकठीण हे सिद्ध करण्याची गरज नसावी.
This is reinforced by noting that the Arabic term for the method, shabakh, has the same meaning as the Italian term for the method, gelosia, namely, the metal grille or grating (lattice) for a window."
गुणाकारपद्धतीच्या नावाचा अर्थ जर तुम्ही पुरावा म्हणून मान्य करत असाल तर प्रश्न असा आहे, की अरबांनी शबख म्हटलं, इटालियनांनी गेलोशिया म्हटलं - दोन्हीचा अर्थ लॅटिस, किंवा चौकट - तर आपण त्या पद्धतीला चौकट गुणाकार वगैरे नाव का नाही दिलं? 'गणेश' हे नाव इटालियन नावाचं भारतीयीकरण आहेसं दिसतं - प्रोटिनला प्रथिन असा प्रतिशब्द काढावा तसंच. त्यामुळे ही आत्ता रूढ असलेली पद्धत भारतीयांनी इटालियनांकडून घेतली असं म्हणायला जागा आहे. गणेश हा शब्द धार्मिक वगैरे काही नसून अपभ्रंशात्मक भारतीयीकरण आहे बहुधा. तेवढाच मुद्दा होता. देवाचं नाव असल्यावर अशा पद्धतीला वैदिक वगैरे म्हणणं ओढूनताणून येतं. गणेश ही वैदिक देवता तरी होती का?

विश्वनाथ मेहेंदळे गुरुवार, 06/14/2012 - 11:02
घासकडवी, जाउ द्या ना. धाग्याचा उपक्रम होतोय. वैदिक शब्द आवडला नसेल तर तो तिथे लिहिलाच नाही असे समजा. गणितातील (होय, (अंक)गणितातीलच ;-) ) काही गमतीजमती माहित असतील तर सांगा की.

विकास गुरुवार, 06/14/2012 - 20:47
अहो, इथे द हिंदु-अरेबिक सिस्टिम म्हटलं आहे ते गुणाकारपद्धतीविषयी नाही, तुम्ही मी दिलेला दुवा पाहीला के ते माहीत नाही, पण संपूर्ण संदर्भ दिलेले पान हे लॅटीस मल्टीप्लिकेशन बद्दलचे होते. म्हणून त्यातील ह्या वाक्यास अधोरेखीत केले होते: These methods were introduced into Europe by Fibonacci. तुमच्या मुळ प्रतिसादात आपण असे म्हणले आहे: "या दुव्यावर या पद्धतीचा प्रथम लिखित उल्लेख तेराव्या शतकात दिसून येतो असं लिहिलं आहे. इटालियन भाषेत त्याला गेलोश्या (gelosia) पद्धत म्हणतात. भारतात त्याचा अपभ्रंश 'गणेश' झाला असावा. तेव्हा केवळ नावावरून इतर संस्कृतींनी लावलेले शोध आमचेच असं म्हणणं कितपत योग्य आहे?" आता हे विधान (ही विधाने) मला जाणतेपणी अथवा अजाणतेपणी, जसे असेल तसे, पण, दिशाभूल करणारी वाटली. कारण त्यातून जर इतर काही माहिती/संदर्भ कुणास नसेल तर असे ध्वनीत होते आणि वाटू शकते की हे इटालीयन संस्कृतीतून आले आहे. ह्यात नाव हा मुद्दा माझ्या दृष्टीने दुय्यम होता आणि आहे. तरी देखील तुम्हीच दिलेल्या विकीच्या दुव्यात "गणेसा" चा उल्लेख आहे. विकीमधील वाक्यः the Indian astronomer Gaṇeśa’s commentary on Bhāskara II’s Lilāvati (16th century). पण तो तुम्ही लक्षात न घेता अथवा दुर्लक्षित करून "गेलोश्या (gelosia)" चा अपभ्रंश झाला असे लिहीले आहे.. आता कदाचीत तो मुद्दा बाजूस सारून तुम्ही अथवा इतर कोणी असे म्हणू शकेल की हे तर सोळाव्या शतकातील आहे. त्यावर उत्तर इतकेच आहे की त्याने ११-१२ व्या शतकातील भास्कराचार्यांच्या "लिलावती" ग्रंथावर भाष्य केले आहे. त्या संदर्भात, खालील वाचू शकता: (Elementary arithmetic: with brief notices of its history, १८७६) आणि म्हणून कुठल्याही अभिमानाने अथवा अहंगंडाने नाही तर set the record straight या एकाच उद्देशाने आणि उत्सुकतेने मी अधिक शोधायचा प्रयत्न केला. त्यात काय दिसले? तर अनेक अधुनिक आणि शतकाहूनही जुन्या असलेल्या संदर्भाप्रमाणे ह्यापद्धतीचा उगम भारतातच झाला असावा असे दिसते - इटलीत नाही. (जे तुमच्या वरील वाक्यावरून वाटते). खाली संदर्भादाखल उदाहरणे देत आहे: (संदर्भः Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images By Claudi Alsina, Roger B. Nelsen) A History of Mathematics, By Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (Long Division च्या खालील सुरवातीची वाक्ये) असो.

विकास गुरुवार, 06/14/2012 - 22:47
गणेश हा शब्द धार्मिक वगैरे काही नसून अपभ्रंशात्मक भारतीयीकरण आहे बहुधा. तेवढाच मुद्दा होता. देवाचं नाव असल्यावर अशा पद्धतीला वैदिक वगैरे म्हणणं ओढूनताणून येतं. इथे आधी (प्रतिसादांमधे) कोणी असे म्हणले होते की गणेश हे गणेशदेवते वरून आलेले नाव आहे अथवा त्यामुळे वैदीक आहे म्हणून? किंबहूना इथेच काय इतरत्रही कधी तुम्ही ऐकले असल्यास अवश्य सांगावेत. का हे तुमचे गृहीतक आहे? बाकी म्हणालं तर, एकंदरीतच (केवळ याच संदर्भात नाही): माझ्या लेखी, जर कुणास पुर्वीच्या गोष्टींचा / पुर्वजांचा आंधळा आणि नुसताच अभिमान असला तर ते जसे अयोग्य, त्याहीपेक्षा पुर्वीचे कोणी म्हणते आहे, म्हणजे ते चुकीचेच असणार, ते आपल्या पूर्वजांनी कुठून तरी घेतलेच असणार असे गृहीत धरणे आणि ते तसे कसेही दाखवायचा प्रयत्न करणे पण चुकीचेच आहे, असे वाटते.

अर्धवटराव Fri, 06/15/2012 - 00:02
>>बाकी म्हणालं तर, ... तसे कसेही दाखवायचा प्रयत्न करणे पण चुकीचेच आहे, असे वाटते. --हे कळत नाहि अश्यातला भाग नाहि...पण... जाऊ द्या. अर्धवटराव

राजेश घासकडवी Fri, 06/15/2012 - 21:51
'गणेश' ची व्युत्पत्ती पटली. पण तसं असेल तर कालखंड सोळाव्या शतकाचा येतो का? की त्याहीआधी भास्कराचार्यांनी या गुणाकाराचं वर्णन केलेलं आहे? भास्कराचार्याच्या लीलावती ग्रंथाचं भाषांतर उपलब्ध आहे का? मला वाचायला आवडेल.
माझ्या लेखी, जर कुणास पुर्वीच्या गोष्टींचा / पुर्वजांचा आंधळा आणि नुसताच अभिमान असला तर ते जसे अयोग्य, त्याहीपेक्षा पुर्वीचे कोणी म्हणते आहे, म्हणजे ते चुकीचेच असणार, ते आपल्या पूर्वजांनी कुठून तरी घेतलेच असणार असे गृहीत धरणे आणि ते तसे कसेही दाखवायचा प्रयत्न करणे पण चुकीचेच आहे, असे वाटते.
या विधानाच्या व्यत्यासाबद्दल काय मत आहे? पुर्वीचे कोणी म्हणते आहे, म्हणजे ते बरोबरच असणार, ते आपल्या पूर्वजांकडूनच इतरत्र गेले असणार असे गृहीत धरणे आणि ते तसे कसेही दाखवायचा प्रयत्न करणे पण बरोबरच आहे. (मला वाटतं तुम्ही तुमच्या विधानाच्या पहिल्या भागात याला अयोग्य म्हटलेलं आहे)

विकास Fri, 06/15/2012 - 23:10
'गणेश' ची व्युत्पत्ती पटली. ही व्युत्पत्ती नव्हे इतिहास आहे. फार तर इंग्रजीत "गणेसा" लिहीले आहे त्याला "गणेश" म्हणतो म्हणून व्युत्पत्ती असे म्हणू शकाल. पण आपण आधी क्लेम केल्याप्रमाणे "गेलोश्या" (gelosia) या इटालीयन शब्दाचा नक्कीच अपभ्रंश आणि तशा प्रकारातील व्युत्पत्ती नाही. पण तसं असेल तर कालखंड सोळाव्या शतकाचा येतो का? प्रतिसाद आणि त्यातील संदर्भ वाचलेत तर समजेल. माझ्या आधीच्या प्रतिसादातील खालील वाक्य परत लिहीत आहे:
आता कदाचीत तो मुद्दा बाजूस सारून तुम्ही अथवा इतर कोणी असे म्हणू शकेल की हे तर सोळाव्या शतकातील आहे. त्यावर उत्तर इतकेच आहे की त्याने ११-१२ व्या शतकातील भास्कराचार्यांच्या "लिलावती" ग्रंथावर भाष्य केले आहे.
त्याशिवाय Elementary arithmetic: with brief notices of its history, १८७६ च्या उपलब्ध संदर्भातील पान देखील तेथे चिकटवलेले आहे. ज्यात "The following method of multiplication was found in the commentary of Ganesa on Lilavati and was method adopted by the Arabians, by whom it seems to have been preferred. It was also adopted by Persians with slight modification and lastly by Italians" असे वाक्य आहे. भास्कराचार्याच्या लीलावती ग्रंथाचं भाषांतर उपलब्ध आहे का? मला वाचायला आवडेल. हा अवांतर प्रश्न आहे का ते मिळे पर्यंत आपल्याला ही पद्धत बाहेरच्या संस्कृतीतून आली आहे असे म्हणायचे आहे? या विधानाच्या व्यत्यासाबद्दल काय मत आहे? पुर्वीचे कोणी म्हणते आहे, म्हणजे ते बरोबरच असणार, ते आपल्या पूर्वजांकडूनच इतरत्र गेले असणार असे गृहीत धरणे आणि ते तसे कसेही दाखवायचा प्रयत्न करणे पण बरोबरच आहे. (मला वाटतं तुम्ही तुमच्या विधानाच्या पहिल्या भागात याला अयोग्य म्हटलेलं आहे) अर्थातच ते अयोग्य आहे. त्या बाबतीत अहंगड दिसतो तर स्वतःचे देखील दुसरीकडून आले म्हणण्यात न्यूनगंड... कुठलाही गंड वाईटच. मी कुठलीही एक बाजू घेऊन आंधळे पणाने दुसर्‍याला शत्रू समजत ठोकत नाही. म्हणूनच नक्की काय आहे हे आधी डोळसपणाने वाचतो. तेच याबाबतीतही केले. जर "गेलोश्या" (gelosia) या इटालीयन शब्दाच्या अपभ्रंशावरून गणेश गुणाकार आला असे जर वाचनात आले असते तर तसे म्हणताना मला काही वाटले नसते. हे पण सर्व लिहीताना आधी म्हणल्याप्रमाणे, "कुठल्याही अभिमानाने अथवा अहंगंडाने नाही तर set the record straight या एकाच उद्देशाने आणि उत्सुकतेने मी अधिक शोधायचा प्रयत्न केला. " पण इतरांना सनातनी, पुराणमतवादी, सनातन प्रभात वाले वगैरे म्हणत हिणवण्यामधे स्वत:च दिलेल्या दुव्यातील संदर्भ दुर्लक्षिणे, अथवा न वाचताच काहीतरी बोलणे, अर्थात, "पुर्वीचे आहे म्हणजे चू़कच असणार", असे समजणे, याला काय "सनातन प्रभात virsion 2" म्हणायचे का? बाकी अजून एका आधीच्य प्रतिसादात विचारलेल्या प्रश्नाचे उत्तर मिळाले तर बरे होईलः इथे आधी (प्रतिसादांमधे) कोणी असे म्हणले होते की गणेश हे गणेशदेवते वरून आलेले नाव आहे अथवा त्यामुळे वैदीक आहे म्हणून? किंबहूना इथेच काय इतरत्रही कधी तुम्ही ऐकले असल्यास अवश्य सांगावेत. का हे तुमचे गृहीतक आहे?

प्रा.डॉ.दिलीप बिरुटे Wed, 06/13/2012 - 12:38
मोठमोठ्या संख्या घेऊन आपण दिलेल्या पद्धतीने गुणाकार करुन पाहिला. गुणाकाराची पद्धत आवडली. आखायचं काम किचकट आहे. कागदावर वाकड्या तिकड्या रेषा येतात. असो, पण दिलं पोरांना कामाला लावून. धन्स. :) -दिलीप बिरुटे

प्रा.डॉ.दिलीप बिरुटे Wed, 06/13/2012 - 17:15
कॅल्क्यूलेटर तर वापरता येईलच. पण, वेगळ्या पद्धतीनेही गुणाकार करता येतो यावर पोरं खुश झाली. चार पाच गुणाकारासाठी वह्यांची साताठ पानं खराब केली तो भाग सोडून द्या. पण, या पद्धतीच्या फायदा घेऊन आता शाळा सुरु झाल्यावर मास्तराची परीक्षा घेण्याचा मनसुबा पोरांनी आमच्याजवळ व्यक्त केला आहे. :) पर्लने वर एका प्रतिसादात म्हटलं की, ''जर कोणाला अशा काही गणितातल्या गमतीजमती-क्लूप्त्या, ट्रिक्स माहिती असतील तर शेअर कराव्यात'' हे सोडून पब्लिक भलतीकडंच घसरलं. :) -दिलीप बिरुटे

विकास गुरुवार, 06/14/2012 - 01:51
चेपु (अर्थात फेसबुक) वर कोणीतरी चिकटवलेले गंमतशीर गणित: 13837 * 73 * तुमचेवय (१०० पर्यंतचेच) = तुमचेवय तुमचेवय तुमचेवय तुमचेवय उ.दा.: जर तुमचे वय १६ असेल तर, 13837 * 73 * 16 = 16161616 जर पाउणशे असेल तर, 13837 * 73 * 75 = 75757575

Nile गुरुवार, 06/14/2012 - 02:13
हा निळेश गुणाकार त्याच्या दहाहजारएकशेएक पट भारी आहे. 3 · 7 · 13 · 37 · 101 · 9901 * (तुमचे वय {फक्त सज्ञान-१८ च्या पुढे हवं आणि ९९ पेक्षा कमी})= तुमचंवय तुमचंवय तुमचंवय तुमचंवय तुमचंवय हा नीलवेदात लिहलेला आढळतो. कपाळकरंट्यांनी उगाच वेदांत नाही वगैरे तक्रारी करू नयेत! बाकी माझं वय ९ आहे. पण उत्तर चुकतंय हो! ;-) 13837 * 73 * ९ = ९०९०९०९

विकास गुरुवार, 06/14/2012 - 04:35
बाकी माझं वय ९ आहे. पण उत्तर चुकतंय हो! Wink 13837 * 73 * ९ = ९०९०९०९ एक अंक (डिजिट) असला तर प्रत्येक अंकाच्या मधे स्पेसच्या ऐवजी शुन्य येते. बाकी, तुमचे वय तुम्ही वाढवून का सांगताय? ;)

श्रीगुरुजी गुरुवार, 03/17/2016 - 13:53
हा धागा बघितलाच नव्हता. गणेश गुणाकाराची पद्धत आवडली. २-३ अंकी दोन संख्यांचा गुणाकार तोंडी करण्याची माझी स्वतःची एक पद्धत आहे. परंतु ही पद्धत खूप आवडली. आकृत्या काढून अगदी व्यवस्थित समजावून सांगितले आहे.