Skip to main content

३१ ते १३० पैकी कोणत्याही संख्येचा वर्ग तोंडी काढा!!

लेखक क्लिंटन यांनी शनिवार, 23/06/2012 या दिवशी प्रकाशित केले.
नमस्कार मंडळी, आता या भागात ३१ ते १३० यापैकी कोणत्याही संख्येचा वर्ग तोंडी कसा काढावा हे बघू.यासाठी गरज आहे १ ते ३० या संख्यांचे वर्ग आणि काही पाढे तोंडपाठ असायची गरज आहे.या पध्दतींचा वापर करून अक्षरश: २ ते ५ सेकंदात ३१ ते १३० पैकी कोणत्याही संख्येचा वर्ग आपल्याला काढता येईल. १ ते ३० या संख्यांचे वर्ग अनुक्रमे: १,४,९,१६,२५,३६,४९,६४,१००,१२१,१४४,१६९,१९६,२२५,२५६,२८९,३२४,३६१,४००,४४१,४८४,५२९,५७६,६२५,६७६,७२९,७८४,८४१ आणि ९००. १. जर संख्या ७० ते १०० दरम्यान असेल तर: समजा ९६ चा वर्ग आपल्याला काढायचा आहे. १०० आणि ९६ मध्ये फरक आहे ४ चा. तेव्हा ९६ मधून तेवढेच (४) वजा करा. उत्तर आले: ९२ आणि त्यापुढे त्या फरकाच्या (४) वर्गातील एकम आणि दशमस्थानचे आकडे लिहा. इथे ४ चा वर्ग १६ आहे तेव्हा ९६ चा वर्ग झाला: ९२।१६ किंवा ९२१६. समजा ९३ चा वर्ग काढायचा आहे. १००-९३=७. तेव्हा ९३ मधून ७ वजा करावेत. उत्तर आले ८६ आणि त्यापुढे त्या फरकाच्या वर्गातील एकम आणि दशम स्थानचे आकडे (७ चा वर्ग=४९) लिहावे. तेव्हा ९३ चा वर्ग झाला: ८६।४९. त्याच पध्दतीने: ९१ चा वर्ग झाला: (९१-९=८२ आणि ९ चा वर्ग=८१) ८२।८१ किंवा ८२८१. समजा ८७ चा वर्ग काढायचा आहे. १००-८७=१३. तेव्हा ८७ मधून १३ वजा करावेत. उत्तर आले ७४. आणि त्यापुढे त्या फरकाच्या वर्गातील एकम आणि दशम स्थानचे आकडे लिहावेत. इथे १३ चा वर्ग: १६९. तेव्हा १६९ पैकी एकम आणि दशम स्थानचे आकडे म्हणजे ६९ लिहावेत आणि १६९ मधील शतमस्थानचा १ हातचा म्हणून डावीकडील भागात मिळवावा. तेव्हा ८७ चा वर्ग झाला: ७४।१६९ किंवा ७५।६९ किंवा ७५६९. त्याच पध्दतीने ८२ चा वर्ग येईल: (८२-१८=६४ आणि १८ चा वर्ग: ३२४) ६४।३२४ किंवा (६४+३)।२४ किंवा ६७२४. तसेच ७३ चा वर्ग येईल: (७३-२७=४६ आणि २७ चा वर: ७२९) ४६।७२९ किंवा (४६+७)।२९ किंवा ५३२९. आता इथे नक्की काय चालू आहे? १०० पेक्षा लहान असलेली कोणतीही संख्या आपण (१००-क्ष) या स्वरूपात लिहू शकतो. या संख्येचा वर्ग: (१००-क्ष)*(१००-क्ष)= १०,०००-२००*क्ष+क्ष चा वर्ग = १००(१००-२*क्ष)+(क्ष चा वर्ग). म्हणजेच १०० मधून २ क्ष वजा करा आणि त्याला १०० ने गुणा. हा झाला पहिला भाग. (९६ चा वर्ग: ९२।१६ मधील ९२). दिलेली संख्या आहे १००-क्ष. त्यातून आणखी क्ष वजा केल्यास आपल्याला १००-२*क्ष मिळेल. आणि वर्गाचा दुसरा भाग (९२।१६ मधील १६) म्हणजेच "क्ष" चा (इथे ४ चा) वर्ग. याच संकल्पनेचा विस्तार १०० ते १३० दरम्यानच्या संख्यांचे वर्ग काढायलाही करता येईल.१०० पेक्षा मोठी संख्या आपण (१००+क्ष) या स्वरूपात लिहू शकतो. या संख्येचा वर्ग: (१००+क्ष)*(१००+क्ष)=१०,०००+२००*क्ष+क्ष चा वर्ग. म्हणजेच १०० मध्ये २ क्ष मिळवावेत आणि त्याला १०० ने गुणावे. हा झाला पहिला भाग. दुसरा भाग म्हणजे पूर्वीप्रमाणेच "क्ष" या संख्येच्या वर्गातील एकम आणि शतम स्थानचे अंक. आपल्याला दिलेली संख्या १००+क्ष आहे. त्यात आणखी एक क्ष मिळविल्यास आपल्याला १००+२*क्ष मिळेल. समजा १०८ चा वर्ग काढायचा आहे. इथे क्ष=८. तेव्हा १०८ मध्ये आणखी एक क्ष=८ मिळवावेत.म्हणजे पहिला भाग झाला: १०८+८=११६. आणि दुसरा भाग झाला क्ष चा वर्ग= ८ चा वर्ग=६४. तेव्हा १०८ चा वर्ग= ११६।६४ किंवा ११६६४. तसेच ११२ चा वर्ग: (क्ष=१२, ११२+१२=१२४ आणि १२ चा वर्ग: १४४) १२४।१४४ किंवा (१२४+१)।४४= १२५४४. १२३ चा वर्ग: (क्ष=२३, १२३+२३=१४६ आणि २३ चा वर्ग: ५२९) १४६।५२९ किंवा (१४६+५)।२९=१५१२९ १२९ चा वर्ग: (क्ष=२९, १२९+२९=१५८ आणि २९ चा वर्ग: ८४१) १५८।८४१ किंवा (१५८+८)।४१=१६६४१ २. दिलेली संख्या ३० ते ५० दरम्यान असेल तर: म्हणजेच दिलेली संख्या=५०-क्ष. त्या संख्येचा वर्ग: २५००-१००*क्ष+क्ष चा वर्ग = १००*(२५-क्ष)+क्ष चा वर्ग. म्हणजेच दिलेली संख्या ५० पेक्षा जितकी लहान असेल तितकेच २५ मधून वजा करावेत. हा झाला पहिला भाग. आणि दुसरा भाग म्हणजे (नेहमीप्रमाणे) क्ष च्या वर्गातील एकम आणि दशम स्थानच्या संख्या. समजा ४७ चा वर्ग काढायचा आहे. दिलेली संख्या ५० पेक्षा ३ ने लहान आहे.तेव्हा २५ मधून ३ वजा करावेत. म्हणजे पहिला भाग झाला २५-३=२२. आणि दुसरा भाग झाला ३ चा वर्ग. इथे आपल्याला ३ च्या वर्गातील एकम आणि दशम स्थानच्या संख्या हव्या आहेत. तेव्हा ३ चा वर्ग म्हणून नुसते ९ न घेता दुसऱ्या भागात ०९ लिहावे. म्हणजेच ४७ चा वर्ग: २२।०९ = २२०९. समजा ३८ चा वर्ग काढायचा आहे.दिलेली संख्या ५० पेक्षा १२ ने लहान आहे.तेव्हा २५ मधून १२ वजा करावेत. म्हणजे पहिला भाग झाला २५-१२=१३. आणि दुसरा भाग झाला १२ चा वर्ग (१४४). म्हणजेच ३८ चा वर्ग: १३।१४४ = (१३+१)।४४= १४४४. समजा ३२ चा वर्ग काढायचा आहे.दिलेली संख्या ५० पेक्षा १८ ने लहान आहे.तेव्हा २५ मधून १८ वजा करावेत. म्हणजे पहिला भाग झाला २५-१८=७. आणि दुसरा भाग झाला १८ चा वर्ग (३२४). म्हणजेच ३२ चा वर्ग: ७।३२४ = (७+३)।२४= १०२४. ३. दिलेली संख्या ५० ते ७० दरम्यान असेल तर म्हणजेच दिलेली संख्या=५०+क्ष. त्या संख्येचा वर्ग: २५००+१००*क्ष+क्ष चा वर्ग = १००*(२५+क्ष)+क्ष चा वर्ग. म्हणजेच दिलेली संख्या ५० पेक्षा जितकी मोठी असेल तितकेच २५ मिळवावेत. हा झाला पहिला भाग. आणि दुसरा भाग म्हणजे (नेहमीप्रमाणे) क्ष च्या वर्गातील एकम आणि दशम स्थानच्या संख्या. समजा ५३ चा वर्ग काढायचा आहे. दिलेली संख्या ५० पेक्षा ३ ने मोठी आहे. तेव्हा २५ मध्ये ३ मिळवावेत आणि हा झाला पहिला भाग (२५+३=२८). आणि दुसरा भाग म्हणजे ३ च्या वर्गातील एकम आणि दशम स्थानच्या संख्या= ०९. तेव्हा ५३ चा वर्ग झाला: २८।०९ किंवा २८०९. समजा ६१ चा वर्ग काढायचा आहे. दिलेली संख्या ५० पेक्षा ११ ने मोठी आहे. तेव्हा २५ मध्ये ११ मिळवावेत आणि हा झाला पहिला भाग (२५+११=३६). आणि दुसरा भाग म्हणजे ११ च्या वर्गातील (१२१) एकम आणि दशम स्थानच्या संख्या= २१ आणि १ हातचा. तेव्हा ६१ चा वर्ग झाला: ३६।१२१ किंवा (३६+१)।२१ किंवा ३७२१. (संदर्भः जांभळ्या रंगाच्या कव्हरचे पुस्तक :) )
लेखनविषय:
लेखनप्रकार
वाचने 22819
प्रतिक्रिया 46

प्रतिक्रिया

गणपा शनिवार, 23/06/2012
यासाठी गरज आहे १ ते ३० या संख्यांचे वर्ग आणि काही पाढे तोंडपाठ असायची गरज आहे
बोंबला या दुसर्‍या वाक्यानेच दांडी काढली. १३ १७ २३ २७ या पाढ्यांवर काही तोडगा आहे का हो क्लिंटन ? बादवे तुझा हा धागा लेकीला दाखवेन म्हणतो. :)

सायली ब्रह्मे शनिवार, 23/06/2012
मग एक Method सापडली. २७ X२७ ___ (दोन्ही पहिल्या अंकांचा गुणाकार) (दोन्ही मधल्या अंकांच्या गुणाकाराची बेरीज) (दोन्ही शेवटचे अंकांचा गुणाकार) =(२X२)(७X२+२X७)(७X७) =(४)(१४+१४)(४९) =(४)(२८+४ = ३२)(९) =(४+३)(२)(९) =७२९ _______________________________________ कल्पनेतल्या धूपदीपांनी जिथे देव खूष होतो तिथे कल्पनेतल्या सज्जनपणाने माणसाने तृप्त राहायला काय हरकत आहे? ---पु.ल. देशपांडे. _______________________________________

गणपा शनिवार, 23/06/2012
येवढी आकडेमोड करण्यापेक्षा हे सोप्पं आहे की. २७ x २७ ----------- १ ८ ९ + ५ ४ ० ---------- ७ २ ९ (हातचे मनात धरलेत.) ;) हा आता तुम्ही वरची सगळी आकडेमोड मनातल्या मनात करत असाल तर गोष्ट वेगळी. :)

मिहिर शनिवार, 23/06/2012
तुमची पद्धत एका ओळीत होते? खरे तर तुमची पद्धत आणि नेहमीची पद्धत यात फरक नाही. केले तेच आहे, पण लिहिले थोडेसे वेगळे आहे. :)

सायली ब्रह्मे शनिवार, 23/06/2012
सवय झाली की फक्त उजवीकडून डावीकडे आकडे मांडत जायचे. १ ते ९ चा गुणाकार व बेरीज असल्याने सोपे जाते. :-)

आनंदी गोपाळ रविवार, 24/06/2012
काय हे? (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 असं माझ्यासारख्या गणित शत्रूलाही ठाऊक आहे अजूनही.. नक्की नवी पद्धत आहे का ती?

मोदक रविवार, 24/06/2012
खरंच कळाले नाही? २७ X २७ _____ १५९ (वरची २७ गुणीले एकक स्थानचे ७) ५४० (वरची २७ गुणीले दशक स्थानचे २ - आणि दशक स्थानचे गुणक / गुण्य म्हणून उत्तराच्या एकक स्थानी By Default ०) . . . . आधीच माहिती असेल तर... प्रतिसादाकडे दुर्लक्ष केले तरी चालेल.

शिल्पा ब रविवार, 24/06/2012
धन्यवाद. ० विसरले होते. नंतर लक्षात आलं पण प्रतिसाद द्यायचा कंटाळा केला. :) पद्धत सोपी आहे खरी पण असंच तर शाळेत शिकवतात ना! का मीच गोंधळलेय?

क्लिंटन रविवार, 24/06/2012
अरे वा. हीच पध्दत ३/४/५/६ आकडी किंवा त्यापेक्षाही मोठ्या संख्यांसाठी वापरता येते. त्याचा वापर करून (सवय झाल्यावर) मिनिटभरात मोठ्यामोठ्या संख्यांचेही गुणाकार करता येतात/वर्ग काढता येतात. आपला हा प्रतिसाद म्हणजे माझ्या या विषयावरील (प्रस्तावित) पुढच्या लेखातील सुरवातीचे introduction झाले. यावर तुम्हालाच लेख लिहिता येईल का? बाय द वे गणपा, या पध्दतीचा वापर करून बघ. भिती नक्कीच पळून जाईल. चर्चेत भाग घेतलेल्या सर्वांचे आभार.

शिल्पा ब शनिवार, 23/06/2012
हेच म्हणणार होते. बाकी तुमचा अभ्यास दांडगा आहे याविषयी शंका नाहीच. लिहीत रहा. आम्हाला नाही तर ज्यांना गणित समजतं अन आवडतं त्यांना नक्कीच उपयोग होईल.

मिहिर शनिवार, 23/06/2012
छान माहिती! पण पाढे पाठ असण्याचीही फारशी गरज नाही. वर्ग माहीत असले आणि बेरीज वजाबाकी येत असली की झाले. :) तुमच्या पोतडीतून आणखीही गोष्टी बाहेर येऊ देत!

बहुगुणी शनिवार, 23/06/2012
गणिताची आणि समजावून सांगण्याची, दोन्ही पद्धती आवडल्या, धन्यवाद! (आता फक्त ते १८-२९ या संख्यांचे वर्ग पाठ करणं जमलं पाहिजे!)

विजय मुठेकर रविवार, 24/06/2012
जर (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 हे सूत्र वापरायचे ठरवले तर कोणत्याही संख्येचा वर्ग पाठ करायची गरज नाही. दरवेळेस a=100 (+ किंवा -), a=50 (+ किंवा -) अथवा a=25 (+ किंवा -) असे सूत्र वापरू शकतो. हो पण त्यासाठी 100, 50 आणि 25 चे वर्ग मात्र पाठ हवेत..

विकास शनिवार, 23/06/2012
एकदम आवडले. कधीच्या काळी शिकलो होतो. परत आठवण करून दिल्याबद्दल धन्यवाद!

दादा कोंडके रविवार, 24/06/2012
ही गंमत खूप वर्षापुर्वी एका पुस्तकात वाचली होती. मला गणितातल्या गमतीजमती आणि कोडी आवडतात पण आकडेमोड असेल तर झेपत नाहीत पण त्यातला लोजिकल भाग आवडतो. मला वाटतं अतिशिघ्र आकडेमोड्यांना अश्याच खूप ट्रीक्स माहित असतील म्हणून ते पटकन उत्तरं देउ शकतात. आणखीही धागे येउद्या.

चिरोटा रविवार, 24/06/2012
पद्धत आवडली. आतापर्यंत Trachtenberg system ( http://en.wikipedia.org/wiki/Trachtenberg_system) सोपी वाटली होती पण ही पद्धत त्याहूनही सोपी दिसतेय.

पैसा रविवार, 24/06/2012
पूर्वी शिकलेलं आठवतंय, पण आता खरं समजलं.

रविंद्र प्रधान रविवार, 24/06/2012
वर दिलेल्या पद्धती तसेच काही दिवसांपुर्वी आलेली गणेश पद्धती या सगळ्या वेदिक गणिती पद्धती आहेत. हे पुस्तक पुरी ज्योतिर्मठाचे शंकराचार्य यांनी वेदांतील निरनिराळी विखरलेली सुत्रे एकत्रित करून लिहिले आहे. १९६० साली त्यांचे निधन झाले. वेदिक गणित हे जगांतील १२५ हून अधिक देशांत ई ४ थी पासून शालेय अभ्यासक्रमात शिकवले जाते. आपल्या देशात मात्र अल्पसंख्याकांच्या विरोधामुळे हा विषय शाळांतून शिकवण्यास बंदी आहे. मी सुमारे ४२ वर्षां पुर्वी याचा अभ्यास केला आहे. स्पर्धात्मक परीक्षांसाठी हा अत्यंत उपयुक्त असल्याने मी गेली अनेक वर्षे ह्या विषयाच्या शिकवण्या घेत आहे. २ वर्षां पुर्वी या विषयावर भाषणे देण्यासाठी तसेच डेमो दाखवण्यासाठी मला सिंगापूर येथे १५ दिवसांकरता बोलावण्यात आले होते. आपल्या शालेय पाल्यांकरता हा विषय नक्कीच उपयुक्त ठरेल.

अमृत रविवार, 24/06/2012
वाखुसाआ अजुन अश्या काही युक्त्या असतील तर जरूर सांगा. अमृत

धनंजय सोमवार, 25/06/2012
छान. यातील काही पद्धती पुरीचे भूतपूर्व शंकराचार्य भारती कृष्णतीर्थांच्या "वेदिक मॅथेमॅटिक्स" पुस्तकात दिले होते. (अर्थात या पैकी कुठलेही सूत्र वेदांच्या मूलपाठ्यात सापडत नाहीत, वगैरे, वगैरे. ही चर्चा झालीच आहे. ती पुन्हा नको. पण भारती कृष्णतीर्थांना श्रेय देण्यात काहीच हरकत नाही. श्रेय द्यावेच. क्लिंटन यांनी "जांभळ्या रंगाच्या कव्हरचे पुस्तक म्हणून हासरे श्रेय दिलेच आहे.) प्रकार २ व ३ (३०-७० मधील वर्ग) वगैरे हळूहळू क्लिष्ट होत जातात. १०^न संख्यांच्या आसपास असलेल्या संख्यांकरिताच या पद्धती मला सोयीस्कर वाटतात. एका ओळीत "क्रॉस-गुणाकार" करण्याची भारतीकृष्णांची पद्धत मी फारतर ३-आकडी गुणाकारांकरिता वापरतो. त्यानंतर हातचे आकडे इतके मोठे होत जातात, की ते मला मांडून ठेवावे लागतात. अशा परिस्थितीत नेहमीची शालेय पद्धत सोपी जाते. (२-आकडी गुणाकारांकरिता क्रॉस-गुणाकाराची पद्धत अधिक झटपट आहे.) "वैदिक" शब्द वापरला किंवा नाही तर काय फरक पडतो, याबाबत क्लिंटन प्रयोग करत आहेत काय? पण तो नि:संदर्भ शब्द न-वापरताही भारती कृष्णतीर्थांना श्रेय देता येतेच. त्यामुळे प्रयोगाचे प्रयोजन नीटसे कळले नाही.

क्लिंटन सोमवार, 25/06/2012
यातील काही पद्धती पुरीचे भूतपूर्व शंकराचार्य भारती कृष्णतीर्थांच्या "वेदिक मॅथेमॅटिक्स" पुस्तकात दिले होते.
विश्वनाथन किंवा तत्सम नावाच्या दाक्षिणात्य लेखकांनी लिहिलेल्या (कृष्णतीर्थांच्या पुस्तकावर आधारीत असलेल्या) Vedic Mathematics या पुस्तकात या पध्दती वाचल्या होत्या. हेच ते "जांभळ्या रंगाचे कव्हर असलेले पुस्तक". विविध स्पर्धा परीक्षांमध्ये मला या पध्दतींचा फायदा झाला होता हे वेगळे सांगायलाच नको.
"वैदिक" शब्द वापरला किंवा नाही तर काय फरक पडतो, याबाबत क्लिंटन प्रयोग करत आहेत काय? पण तो नि:संदर्भ शब्द न-वापरताही भारती कृष्णतीर्थांना श्रेय देता येतेच. त्यामुळे प्रयोगाचे प्रयोजन नीटसे कळले नाही.
नाही असा कोणताही प्रयोग मी करत नाही. पुलंच्या भाषेत सांगायचे झाले तर "या जगात काय म्हटले आहे त्यापेक्षा कोणी म्हटले आहे यालाच जास्त महत्व असते". गणेश गुणाकारावरच्या धाग्यात त्या गुणाकाराच्या merits आणि demerits वर चर्चा होण्यापेक्षा हा "वैदिक" गणितातील गुणाकार आहे का यावर जास्त चर्चा झाली होती.तसे या धाग्यांमध्ये व्हावे असे मला अजिबात वाटत नव्हते/नाही. खरं सांगायचे तर मला या पध्दती खरोखरच वैदिक आहेत की नाही हा प्रश्न अत्यंत गौण वाटतो.या पध्दती अगदी biblical mathematics मधल्या जरी असल्या तरी त्यांच्या उपयुक्ततेत काहीही फरक पडणार नाही. एकदा गणेश गुणाकाराच्या बाबतीत हा प्रकार झाल्यानंतर या दोन धाग्यांमध्येही तोच प्रकार झाला असताच असे नाही.पण तशी एक शक्यता होतीच. तेव्हा या व्यर्थ गदारोळात मूळ पध्दतींवरील भाष्य मागे पडू नये या उद्देशाने "जांभळ्या रंगाचे कव्हर असलेले पुस्तक" असा त्या पुस्तकाचा उल्लेख केला.सवय झाल्यावर या पध्दतीचा वापर करून ५ सेकंदांपेक्षा कमी वेळात वर्ग काढता येतील यात अजिबात शंका नाही.मला स्पर्धा परीक्षांमध्ये या पध्दतींचा फायदा झाला तसाच इतर कोणाला व्हावा याच एका उद्देशाने हे दोन धागे लिहावेसे मला वाटले.आणि गणेश गुणाकारावरचा धागा बघून मलाही असे काही लिहिता येईल याची जाणीव झाली. त्याबद्दल त्या धागा कर्त्यास/कर्तीस धन्यवाद.
एका ओळीत "क्रॉस-गुणाकार" करण्याची भारतीकृष्णांची पद्धत मी फारतर ३-आकडी गुणाकारांकरिता वापरतो. त्यानंतर हातचे आकडे इतके मोठे होत जातात, की ते मला मांडून ठेवावे लागतात.
या पध्दतीतही हातचे खालच्या ओळीत लिहून ठेवता येतात आणि आकडे लक्षात ठेवायची गरज पडत नाही.वेळ मिळेल तेव्हा त्यावर मी लिहिणारच आहे. या पध्दतीचा वापर करून अक्षरश: मिनिटभरात मोठ्या मोठ्या संख्यांचे वर्ग आपल्याला काढता येतात हे नक्कीच. (अर्थातच त्यासाठी बेरजा आणि गुणाकार तोंडी पटापट करता यायला हवेत).

नगरीनिरंजन सोमवार, 25/06/2012
वैदिक गणित नावाच्या पुस्तकात अशा पद्धती वाचल्याचे स्मरते. परंतु १३० ची मर्यादा असण्याची गरज नाही. ३० पर्यंतच संख्यांचे वर्ग तोंडपाठ आहेत असे धरले तरी, क्रॉस-गुणाकार पद्धतीने किमान १७० ते २३०, २७० ते ३३०, ३७० ते ४३०, ... , ९७० ते १०३०, इ. इ. सर्व संख्यांचे तोंडी वर्ग काढण्यास अडचण नसावी. उदा. २१२ चा वर्गः (क्ष=१२, २१२+१२=२२४ आणि १२ चा वर्ग: १४४) २*२२४।१४४ किंवा (४४८+१)।४४= ४४९४४. ९१५ चा वर्गः(क्ष=१५, ९१५+१५=९३० आणि १५ चा वर्ग:२२५) ९*९३०।२२५ किंवा (८३७०+२)।२५= ८३७२२५

क्लिंटन सोमवार, 25/06/2012
हो असे गुणाकार तोंडी करता येत असतील तर अगदी १ ते १००० पर्यंत कोणत्याही संख्येचे वर्ग काही सेकंदात तोंडी काढता येतील. मी वाचलेल्या पुस्तकात ही पध्दत होतीच. पण मी स्वतः ती फारशी वापरली नव्हती त्यामुळे त्याचा विसरच पडायला झाला बघा.

चिखलू सोमवार, 25/06/2012
मला हे गणिताचे खेळ खूप आवडतात. कुणाला अजुन गमती बघायच्या असतील तर आर्थर बेंजामिन चा व्हिडिओ बघा. तो सरळ सरळ मॅथेमॅटिक्स आणि मॅजिक एकत्र करुन "मॅथेमॅजिक" नावाची एक नविन संकल्पना मांडतो. मुलाला हा व्हिडिओ दाखवल्यावर तर मागेच लागला मलाही शिकवा.... Arthur Benjamin does "MatheMagic" TED (Technology, Entertainment & Design), या वेबसाईट वर लाखो व्हिडिओ आहेत. आठवड्याला एक Office मध्ये सगळ्यांना दाखवला जातो. एक ऑर्गॅझम वरही आहे. आग्रह करत नाही. सगळे शोधुन बघतीलच.....:-)

आर्य सोमवार, 25/06/2012
काय चर्चा आहे राव घाम फुटला वाचुन .......! गणिताच पेपर झाला की मी सरळ घर गाठायचो......कारण काही लोक बाहेर आल्यावर उत्तरं वगैरे तपासायचे, कपाळ करंट्याना सुटल्याच आनंद का होत नसत कोणास ठऊक. बर निकाल लागे पर्यंत खाजवून खरुज काढायचे साले... आजही ते ११ / १२वी च डेरीव्हेशन, इंटिग्रेशन वगैरे स्वपनात आल्यावर दचकुन जाग येते. माझे भयावह स्वप्न - १२ बोर्डाचा पेपर देतोय बरं त्या प्रश्न पत्रिकेतली ४ गणित चूकली म्हणून पास झालो होतो, या गो ष्टीला १५ वर्ष लोटली तरी भय कायम आहे.........................................

योगी९०० सोमवार, 25/06/2012
उत्तम माहिती...गणिताच्या याच गमती मला आवडतात.. अजून एक.. दोन लगतच्या संख्यांच्या वर्गांमधले अंतर हे त्या संख्यांच्या बेरजेइतके असते.. म्हणजे ३ वर्ग = ९ आणि ४ वर्ग = १६...यांच्यातले अंतर म्हणजे ७ हे ३ आणि ४ यांच्या बेरजेइतके येते. हाच सिद्धांत आपण आणखी वाढवला तर.. ४ वर्ग = १६ ८ वर्ग = ६४ ६४ - १६ = ४८ ४८ = (४+८) x (८-४) म्हणजे फोर्मुला असा होईल sq(a) - sq(b) = (a+b) x (a-b) Assume that 'a' is bigger than 'b' या पद्धतीने ही वर्ग काढता येईल..

क्लिंटन सोमवार, 25/06/2012
चर्चेत भाग घेतल्याबद्दल आणि आपल्या सगळ्यांच्या अभिप्रायाबद्दल सर्वांना धन्यवाद.वेळ मिळेल त्याप्रमाणे आपल्याला माहित असलेल्या अशा पध्दती मिसळपाववर अवश्य लिहा अशी नम्र विनंती.

बॅटमॅन मंगळवार, 26/06/2012
दिलेल्या पद्धती पाहिल्या. उत्तम आहेत. स्कॉलरशिपच्या क्लासमध्ये शिकवलेली वर्ग करण्याची पद्धत खाली देत आहे. तिच्यामध्ये वर दिलेल्या पद्धतींप्रमाणेच गुणाकार / भागाकार जरा भरभर करता येणे अपेक्षित आहे, पण महत्वाचे म्हणजे ही पद्धत एकदम जनरल आहे-कुठल्याही आकड्यासाठी तितकीच अ‍ॅप्लिकेबल. स्पीडमध्ये कदाचित काही ठिकाणी मार खाऊ शकेल, पण सर्वच आकड्यांसाठी सारखीच लागू पडते. उदा. १२^२=१४४. प्रथम एककस्थानच्या आकड्याचा वर्ग करा. २^२=४. तो एककस्थानी मांडा. एकक सोडून उरलेला आकडा, म्हणजे या उदा.मध्ये १, एककस्थानचा आकडा(म्ह. २) आणि घातांक म्ह. २ यांचा गुणाकार करा. १*२*२=४. तो दशकस्थानी मांडा. एकक सोडून उरलेला आकडा=१. त्याचा वर्ग करा: १^२=१. तो शतकस्थानी (म्ह. सर्वांत डावीकडे) मांडा. त्यामुळे उत्तर आहे १४४. इथे हातचे कुठे आले नव्हते. आता ४८ चा वर्ग करू. एककस्थानचा आकडा आहे ८ व ८^२=६४. ४ लिहा, हातचे आले ६. ४*८*२=६४, त्यात हातचे ६ मिसळा: ६४+६=७०. दशकस्थानी ० लिहा, हातचे आले ७. एककस्थान सोडून उरलेला आकडा=४. त्याचा वर्गः ४^=१६, त्यात हातचे मिसळा ७. २६+७=२३. सर्वांत डावीकडे ते लिहा. सो आपल्याला उत्तर मिळते: ४८^२=२३०४. एखाद्या ३ अंकी संख्येचा वर्ग पण करून पाहू, उदा. १२१. एककस्थानचा आकडा, त्याचा वर्ग=१. (एककस्थानचा आकडा सोडून उरलेली संख्या)*(एककस्थानचा आकडा)*(घातांक)=१२*१*२=२४. ४ लिहिले, हातचे आले २. (एककस्थानचा आकडा सोडून उरलेली संख्या)=१२, तिचा वर्ग=१४४. त्यात २ मिसळा, आले १४६. सो उत्तर आहे १४६४१. म्हणून १२१^२=१४६४१. आता हे बरोबर का आहे? आपली पद्धत बघू. समजा अब=१०*अ+ब ही संख्या आहे. ती २ किंवा कितीही आकडी असो, सिद्धतेत बदल नाही होणार. तूर्तास सिद्धता २ आकडी संख्यांसाठी देतोय. आता, (अब)^२=(१०*अ+ब)^२=१००* अ ^२+२०*अ*ब+ब^२. आपल्या पद्धतीनुसार, सर्वांत आधी लिहितो ब^२. नंतर लिहितो अ*ब*२ म्हणजेच (२*अ*ब) पण दशकस्थानी. म्हणून स्थानिक किंमतीनुसार बेरीज करायची झाली तर ती टर्म होते १०*(२*अ*ब) म्हणजेच २०*अ*ब. त्यानंतर लिहितो ते अ ^२ पण शतकस्थानी, म्हणून स्थानिक किंमतीनुसार बेरीज करायची झाली तर ती टर्म होते १००*अ ^२. म्हणजेच आपल्या पद्धतीनुसार वर्ग होतो तो १००* अ ^२+२०*अ*ब+ब^२=(अब)^२=(१०*अ+ब)^२. त्यामुळे ही पद्धत बरोबर आहे. आता वर्गासाठीची ही पद्धत ज्या तत्वावर आधारलेली आहे त्याच तत्वावर म्हणजे बायनॉमियल थिओरमवरती आधारलेली घनासाठीची किंबहुना कुठल्याही घातासाठीची पद्धत तयार करता येते. घनासाठीचे बायनॉमियल एक्स्पान्शन असे: (अब)^३=(१०*अ+ब)^३= १०००*अ ^३+३००*अ ^२*ब+३०*अ*ब^२+ब^३. =१०००(अ ^३)+१००(३*अ ^२*ब)+१०(३*अ*ब^२)+ब^३. आता याचा उपयोग करून १२ चा घन काढू. १२=१०*१+२ म्हणून इथे अ=१ आणि ब=२. ब^३=२^३=८. ३*अ*ब^२=३*१*२^२=१२. लिहिले २(दशकस्थानी), हातचा आला १. ३*अ ^२*ब=३*१^२*२=६, त्यात हातचा १ मिळवला, उत्तर ७ आले ते लिहिले(शतकस्थानी). अ ^३=१६३=१, लिहिले सहस्रस्थानी. म्हणून, १२^३=१७२८. हीच पद्धत ४थ्या, ५व्या किंवा कितव्याही घातासाठी बिनधास्तपणे वापरता येईल. याला कारण ऐझॅक न्यूटनसाहेबांचे बायनॉमियल थिओरमच आहे :)

क्लिंटन मंगळवार, 26/06/2012
परत एकदा धन्यवाद बॅटमॅन. यात वर्ग काढायची पध्दत म्हणजे ३/४/५/६ किंवा मोठ्या आकडी संख्यांचा गुणाकार करायची पध्दत आहे (जी मी वेळ मिळेल त्याप्रमाणे पुढील भागात कव्हर करणार आहे). २०० पेक्षा मोठ्या असलेल्या संख्यांचे वर्ग काढायला मी या पध्दतीचाच वापर करत असे. नगरीनिरंजन यांनी त्यासाठी दुसरी पध्दत सांगितली आहे त्याचाही वापर आता मी करेन.घन आणि इतर मोठे घात काढायच्या पध्दती त्याच "जांभळ्या रंगाचे कव्हर असलेल्या" पुस्तकात दिल्या होत्या. पण घन आणि चौथे/पाचवे घात काढायची वेळ कधी आलीच नाही (माझा मर्यादित उद्देश विविध स्पर्धापरीक्षांमध्ये वेगाने आकडेमोड करता येणे एवढाच होता आणि त्या परीक्षांमध्ये असे मोठे घात विचारत नाहीत :) ) त्यामुळे त्या पध्दतींकडे विशेष लक्ष दिले नव्हते.त्याची परत एकदा आठवण करून दिल्याबद्दल धन्यवाद.