शिकण्याचे मानसशास्त्र — वर्ड प्रॉब्लेमस्

“The twin goal of mathematics education is the development of critical thinking and problem-solving skills and abilities.”

एका अभ्यासलेखामधे हे वाक्य वाचले आणि थबकलो. मार्कांच्या रस्त्यावर झापड लावून धावणाऱ्यांचा मागे कळपवृत्तीमुळे धावताना आपण काहीतरी विसरलो आहोत हे जाणवत होते, काहीतरी मागे ओढत होत आणि थांब, प्लीज थांब म्हणत होत... हाच का तो विचार ... ?

मागच्या अनेक FB पोस्ट मधून शिकण्याचे मानसशास्त्र आणि त्यातून डोकावणाऱ्या साहित्याच्या घटकांची "थिअरी" वर लिहिले, आता "प्रॅक्टिकल"! यासाठी वर्ड प्रॉब्लेम हा एक मोठा घटक आहे.

गणित शिकण्या समजण्यामधे "वर्ड प्रॉब्लेमस्" किंवा वर्णनात्मक कथन / वृत्तांत पद्धतीने मांडलेले गणिती प्रश्न हे एक महत्वाचा प्रकार आहे. दैनंदिन जीवन आणि शिक्षणाची सांगड घालण्यास मदत करतो. जीवनातल्या बऱ्याच प्रश्नांकडे बघण्याचा आणि ते सोडवण्याचा तर्कशुद्ध मार्ग शिकवतो. (माझ्या पाहण्यात आलेल्या परीक्षां प्रश्नपत्रिकामध्ये असे प्रश्न अभावानेच दिसले.)

गणितातले वर्ड प्रॉब्लेम्स करीअरच्या दृष्टीने पण महत्वाचे आहेत. रिडींग अँड कॉमप्रीहेंशन स्किल्स आणि अनँलिटिकल स्किल्स शिकण्याची गाडी व्हाया याच ठेशणा वरून जाते!

"The mastery of word problems is seen as an important test of mathematical ability. When solving such problems, students supposedly go beyond rote learning and mechanical exercises to apply their knowledge to realistic problem situations in which mathematical reasoning becomes an important instrument for making concrete judgements." (ScienceDirect. com)

Example:

तुम्ही भारत एविएशन कंपनी मधे डिझाईन इंजिनीअर आहात. भारत एविएशन कंपनी विमान बनवते. त्यांच्या A-55 विमानाला उड्डाण घेण्यासाठी 2 कि.मी. धावपट्टी लागते. उड्डाण साधण्यासाठी ताशी 360 कि.मी. वेग साधावा लागतो. त्यासाठी लागणारा प्रवेग किती असावा, तो साधायला वेळ किती लागेल याचे कोष्टक तयार करायला तुमच्या वरिष्ठांनी तुम्हाला सांगितले आहे. साधारण 1500 मी. च्या आत बाहेर विमानांनी हवेत झेप घ्यावी असे असेल तर विशिष्ट प्रवेग किती हवा आहे सांगू शकाल? आणि किती वेळ लगेल ते पण पहा.
शैक्षणिक दृष्ट्या वर्ड प्रॉब्लेम कसे सोडवावेत या अध्ययन-साहित्याचे घटकाचे वैशिष्ट्य पाहण्यापूर्वी, अशा प्रश्नांबद्दल आणि वर दिलेल्या विधानावर काही अभ्यास निबंध पाहू.

Verschaffel, Greer, & Corte, 2000

हा अभ्यास निबंध मी अजून पूर्णपणे वाचला नाही, पण त्याच्या एबस्ट्रँक्ट आणि त्याचातले उल्लेख वारंवार वाचनात आले. तेव्हढ्या भांडवलावर पुढचे कथन आधारित आहे.

दुसरे असे की हा बराच अभ्यास पाश्चात्य अभ्यासक्रमातील विद्यार्थ्यांचे केलेल्या निरीक्षणावर आहे. मराठीमध्ये वर्ड प्रॉब्लेम असा उल्लेख असलेला लेख इंटरनेट वर सापडला नाही. अशा प्रकारचे प्रश्न मराठी विद्यार्थ्यांना अवघड जातात का नाही, हे मला माहित नाही. पण "प्रश्न नीट वाचा", "काय विचारली ते पहा", ... उपदेश आढळतो आणि हे बरेच काही सांगून जातं.

टीप: पर्यायी संज्ञा (terminology) सापडत नाही म्हणून "वर्ड प्रॉब्लम" असा "सपष्ट म्हराटी" शब्द प्रयोग वापरतो.

वर्ड प्रॉब्लेमस् इतर गणिती प्रश्नांपेक्षा थोडे वेगळ्या पद्धतीने मांडलेले असतात. गणिती तंत्रात मांडता येईल अशी तत्व, माहिती चाळून शोधावी / काढावी लागतात. त्याेनंतर योग्य सूत्र, तंत्र वापरून आकडेमोड करून उत्तर द्यावे लागते.

वर्ड प्रॉब्लेम अवघड आहेत का हे पाहण्यासाठी तीन परीक्षण वापरले जाऊ शकतात. 1. बोली भाषेची क्लिष्टता, 2. गणिती क्लिष्टता आणि 3. बोली भाषा - गणिती घटकांच्या नात्याची क्लिष्टता. (ग्रीक, लॅटिन, मँथ्स सिम्बॉल्स)

उदाहरणार्थ:
(संख्या) मिळवणे, जोडणे, वर्ग करणे... बोली भाषेचे शब्द अनेक अर्थानी वापरले जातात. संदर्भा शिवाय अर्थ स्पष्ट होत नाही ते क्लिष्ट! (Daroczy G, and others (2015):- Word problems: a review of linguistic and numerical factors contributing to their difficulty)

क्लिष्ट भाषा, अवघड संकल्पना, आणि तोकड्या भाषाज्ञाना मुळेही वर्ड प्रॉब्लेमस् अवघड वाटतात (अनँलिटिकल थिंकिंग हे भरीस भर). नेमकं काय विचारले आहे, काय करायचे आहे आणि अर्थातच कसे करावे हा गोंधळ होतो. (Verschaffel et al. 2000).

आधी दिलेल्या एक्साम्पलचे कथन सदोष आहे हे उघड आहे. ह्यात प्रश्न स्पष्ट नाही. तख्ता करायचा आहे का 1500 मीटरला उड्डाण वेग साधण्यासाठी प्रवेग किती असावा हे विचारले आहे? "पहा" म्हणजे काय करायचे? त्यामुळे प्रश्न घडवताना भाषा ज्ञान आणि लिहिण्याची कला आवश्यक आहे हे वेगळे सिद्ध करायला नको.

भाषेच्या अभ्यासाकडे दूरलक्ष असेही महागात पडत – कॉग्नीटिव्ह लोड वाढतो आणि विषयाची भीती निर्माण होतो. (Cognitive load theory मागच्या एका पोस्ट मधे बघितली होती.)

वर्ड प्रॉब्लेम शैक्षणिक घटकाचा दोषही तितकाच मोठा आहे. ह्या पद्धतीमुळे विद्यार्थी अवास्तव, अतार्किक गृहितांना पासून उत्तरा पर्यंत सर्व, केवळ शिक्षकांनी सांगितले म्हणजे सत्य म्हणून स्वीकारतात. पुढे हीच वृत्ती होते आणि वास्तवातल्या प्रसंगांसाठी गणिती पद्धत वापरताना अतार्किक अवास्तव गृहितांचा उपयोग करतात. (Verschaffel, De Corte, and Lasure (1994)). याचे उदाहरण आर्थिक गुंतवणूक करताना भविष्यात मिळणारा नफा!

वाचकहो, वेतळाला थिअरीच्या जंगलात ठेवून, विक्रमादित्याचा प्रॅक्टिकल नगरीत येऊ. मूळ मुद्द्या कडे वळू. (कसा वाटला नाथ माधव टच )

Give a man a fish and he will eat for a day. Teach a man how to fish and you feed him for a lifetime या वचनाला धरून, एक्साम्पल गणिताचा उपयोग करून, अध्ययनासाठी सादरकेलेल्या शैक्षणिक साहित्यातले काही घटक विस्तृत रुपात पाहू. हे घटक साहित्याला शैक्षणिक रूप देतात. वैचारिक, ललित किंवा इतर साहित्य प्रकारात असे लिखाण/कथन सहसा आढळणार नाही. असो!

शैक्षणिक उद्दिष्ट: (ब्लूम्स टॅक्सओनॉमी अधिष्टीत):

हे अध्ययन पूर्ण केल्यावर, तुम्ही वर्ड प्रॉब्लेम:

1. व्याख्या, महत्व, गुणदोष सांगू शकाल.
2. सोडवण्याची प्रक्रिया संहिता सांगू शकाल.
3. कसे सोडवावे हे उदाहरणाचा उपयोग करून प्रत्यक्ष दाखवू शकाल.

प्रक्रिया संहिता:

1. आधी वर्ड प्रॉब्लेम किमान दोन वेळा वाचा. अनावश्यक विधानावर काट मारा (strike through).
2. प्रश्न चित्ररूपात मांडून बघा.
3. कथनातून प्रश्न वेगळे करून स्पष्ट शब्दात लिहून काढा. (1500 मी. ला उड्डाण वेग साधण्यासाठी किती प्रवेग हवा आहे? 1500 मी. अंतर किती वेळात साधले जाईल? ई.)
4. उत्तर शोधण्यासाठी लागणारे सूत्र (फॉर्म्युला) लिहून काढा.
5. विशिष्ट माहितीचा तख्ता करा. घटक एकाच मापन पद्धतीमधे बदलून घ्या. (360 की.मी./तास = 100 मी./सेकंद)
6. सूत्रातील (फॉर्म्युला) विशिष्ट घटक (व्हेरिएबल्स) आहेत का पहा. व्हेरिएबल नोटेशन अक्षरं वरील तखत्यात लिहा.
7. ज्या सूत्रांचे सर्व घटक आहेत ते सूत्र वापरा. जर असे नसेल तर तखत्यातल्या इतर माहितीतून तो घटक मिळवता येतो का पहा.
8. आकडेमोड करून उत्तर शोधा.
9. प्रश्न, सूत्र, आकडेमोड पुन्हा तपासा. उत्तर अवास्तव वाटत नाही ना?

प्रत्यक्ष क्रिया:

1. एक्साम्पल मधल्या अनावश्यक वाक्यावर काट मारून स्पष्टीकरण द्या. उदा. पहिलेच 2 वाक्य.
2. चित्र वर्णन: विमान धावपट्टीवर धावत आहे. सुरवात, उड्डाण, धावपट्टीचा शेवट - सर्व अंतर चित्रावर दाखवा. विमान उड्डाण बिंदू 1500 मी वर दाखवा आणि उड्डाण वेग चित्रावर लिहा.
३. 1500 मी. वर 100 मी./सेकंद वेग गाठण्यासाठी प्रवेग किती हवा? हा वेग साधण्यास वेळ किती लागेल?
४. कायनेमॅटिक सूत्र:
v = u + at = दोन घटक नाहीत (a & t)
d = ½ (u + v)t = जो शोधायचा आहे तोच नाही (a).
d = ut + ½ at^2 = दोन घटक नाहीत (a & t)
v^2 = u^2 + 2ad = हा फॉर्म्युला वापरू शकतो. फक्त 'a' नाही, तो काढता येईल. नंतर t शोधत येईल.
5. विशिष्ट माहिती आणि व्हेरीएबल्स: v = 360 km/h = 100 m/s; d = 1500 m:; u = 0 m/s
6. a & t शोधा
7. ...

सक्रिय सहभागासाठी - मल्टिपल चॉईस प्रश्न:

हे प्रश्न जागोजागी पेरता येतील. त्याने विद्यार्थ्यांचा सक्रिय सहभाग साधता येईल. (ऍक्टिव्ह vs पॅसिव्ह लर्निंग थिअरी)
1. विमानाचा सुरवातीचा वेग काय असेल? u = ?
2. गाळलेल्या जागा भरून सूत्र पूर्ण करा.
3. आकडेमोड करून बरोबर उत्तर निवडा
4. व्हरीएबल्स समान करा. क्ष की.मी./ताशी = ? मीटर/सेकंद
5. ….

शेवटी:

• हा मजकूर अधिक सहज आणि सोपा करण्यासाठी, किंवा लक्षात राहावा असे काही क्रिएटिव्ह करू शकतो.
• प्रत्येक महत्वाच्या मजकूर पँराग्राफला एक चित्र चिकटवले तर समरणात राहण्यासाठी उपयोग होतो.
• एखादे नेमोनिक, लिमेरिक ... क्रिएटीव्हीटीला पूर्ण वाव आहे इथे.

अशा प्रकारचे लेखन एक स्वतंत्र कौशल्य नाही का? सर्व शिक्षकांकडे असेल?

जाता जाता:

अशी मेथड वापरून गणित सोडवायला शिकवावे का ही मेथड स्वतंत्रपणे अभ्यासक्रमात असावी? तुम्हाला काय वाटत?

राजा वळसंगकर
11.11.20