माम्मा मियाचे गणित : (गणित असले तरी) न बिचकता वाचण्यासारखे, पण घाबरवणारे

(आधीचा संदर्भ: https://misalpav.com/node/46429)

जर १९ फेब्रुवारी २०२० च्या दिवशी आणि थोडे त्या आधी व थोडे त्या नंतर मिलानमधल्या सान सिरो स्टेडियममध्ये एकत्र जमलेल्या आणि त्यानंतर सर्वदूर पांगलेल्या या ४०,००० - ५०,००० फुटबॉलवेड्यांच्या उन्मादाचा परिणाम गणिती दृष्टीनें अभ्यासायचा असेल तर? 

जरी हे कधी तरी कोणीतरी एखाद्या शोधप्रबंधात मांडेलच तरी त्यासाठी विचार करताना लक्षांत आले- माझ्या स्वतःच्याच गणिती कल्पना (mathematical fundamentals) पुसटल्या आहेत. तेव्हा हा "घोटाळा" मोठा (अगदी ठ ला ठ ला ठ असे अनेक ठ) जरी असला, तरी येव्हढ्यावरच न थांबता त्याला काहीतरी अंकात्मक "मोठेपण" द्यायचे असेल तर ते कसे? 

एखादा विषाणू जेव्हा इकडेतिकडे - बहुधा एखाद्या carrier  मुळे , किंवा हवा, पाणी, अन्न  अशा माध्यमातून - पसरतो तेव्हा त्यांच्या हालचालींना गणितात्मक रूप देण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या   Random Walk Theory अशासारख्या (फार थोड्या लोकांना समजू शकणाऱ्या) गणित पद्धतींचा वगैरे वापर टाळून (नाहीतरी असले कांही, फक्त त्यांच्या नांवापलीकडे  मला तरी कुठें माहीत आहें ?) अशा हालचालींना थोड्यातरी प्रमाणात संख्यात्मक स्वरूप देता येईल कां ?

Peter Piot  या जगप्रसिद्ध विषाणूतज्ञाचे त्याच्या आयुष्यात प्रत्यक्ष घडलेल्या विषाणू संदर्भातल्या घडामोडीबद्दलचे एक पुस्तक (No Time to Lose :A Life in Pursuit of Deadly Viruses: ISBN 978-0-393-34551-3) हल्लीच वाचले होते. या आता मोठे नांव असलेल्या बेल्जीयन माणसाला त्याच्या वैद्यकीय पदवीनंतरच्या  शिकाऊ जीवनाच्या सुरवातीलाच बेल्जीयन काँगो (सध्याचे  Zaire, एकेकाळची बेल्जीयमची वसाहत) मध्ये अचानक सुरू झालेल्या एका गूढ साथीच्या आजाराच्या तपासासाठी पाठवले गेले. तिथून त्याच्या जीवनाची विषाणू शास्त्रज्ञ म्हणून सुरू झालेली  वाटचाल अनेक टप्प्यातून पुढे, इबोला, HIV इ.इ. क्षेत्रातल्या अनेक (गूढ,नवीन आणि त्यामुळे भयावह आणि अतिसंहारक) सांसर्गजन्य रोगांसंबंधीच्या जागतिक प्रतिबंधक संस्थ्यांमध्ये महत्वाच्या जागी काम करत सुमारे चाळीस वर्षें चालू राहिली. या शास्त्रज्ञाला, त्याच्या एका मार्गदर्शकाने उपदेश केला होता की - विशिष्ट विषाणूंच्या रोग पसरण्याच्या पद्धतींचे संशोधन करताना, जर तुम्ही गोंधळला असाल तर तुम्हीच स्वतःला विषाणूच्या जागी असल्याची कल्पना करत इकडून तिकडे वेगवेगळ्या पद्धतीने कसे जाऊ शकाल, हा विचार कदाचित तुम्हाला योग्य मार्ग दाखवू शकेल. 

तेव्हा याच तत्वाचा (आणि इतरही कल्पनांचा, जास्त अवघड तत्वे सोपी करण्याच्या प्रयत्नांत) वापर करून मिलानमधल्या सान सिरोतल्या कोरोनाच्या हालचालींना  संख्यात्मक स्वरूप देण्याकरता त्यासारख्याच इतर काल्पनिक परिस्थितीत काय होऊ शकेल याचे हे एक सोपे केलेले गणिती नखचित्र - इतर नखचित्रांप्रमाणे या चित्रातही "मोS S S ठठठा म्हणजे किती मोS S S ठठठा" असू शकेल याची फक्त अंधुकशी कल्पना येईल. तसेच या नखचित्रात आपापल्या कौशल्य आणि आवडीप्रमाणे इतर "रंग"देखील (इतरांना) भरता येतील. या "simplistic simulation" ला  फक्त एक आकड्यांची गंमत म्हणून पाहिल्यास या सगळ्याच प्रकरणाच्या अवाढव्यपणाची थोडीफार कल्पना येऊ शकेल.  

पुरेशा माहितीअभावी कोरोनाच्या आणि सान सिरोतल्या उसळत्या आणि खळबळत्या प्रेक्षकांच्या - मूलतः क्षणोक्षणी बदलत्या आणि dynamic तऱ्हेच्या  - हालचालींच्या  मागे लागण्याऐवजी  आपण आणखीनच साधी आणि सरळ static परिस्थिती घेऊ, जिथे 

१.   एका बिलियर्ड्सच्या मेजावर (म्हणजे आपले सान सिरो ) अनेक बिलियर्ड्सचे चेंडू पसरले आहेत. 
२.  त्यातील प्रत्येक चेंडूवर ओळख पटण्याकरता त्याची विवक्षित खूण, जसे  A, B, C, D, E, F........ इ. इ. लिहिलेले आहे. 
३.   मेजाभोवती एक माशी फिरत आहे (म्हणजे  "आपला", कुणालाही नको असलेला कोरोना व्हायरस ) 
४. ही माशी जर एखाद्या चेंडूवर बसली आणि तिने त्यावर घाण केली (म्हणजेच एखाद्याला कोरोना व्हायरसची "लागण" झाली) आणि नंतर हा चेंडू दुसऱ्या चेंडूच्या पुरेशा जवळ गेल्याने, किंवा इतर कुठल्याही कारणाने एका चेंडूवरची घाण दुसऱ्यावरही पसरली (म्हणजे कोरोना व्हायरसचा प्रसार झाला) तर हा प्रकार किती वेगवेगळ्या पद्धतीने घडू शकतो हे आपल्याला पाहायचे आहे.         

अर्थातच काही परिस्थितीत घाणीचा प्रसार अजिबातच होणार नाही - जसे प्रत्येक चेंडू दुसऱ्यापासून ६ फुटांपेक्षा जास्त अंतरावर असणे  किंवा माशी एखाद्या चेंडूवर बसून घाण करण्याआधीच फटकारली जाणे इ.इ. आपल्या या model  मध्ये असे काही होत नाही हे  गृहित.  आपल्या बिलियर्ड्सच्या मेजावर (म्हणजे आपले सान सिरो ) बिलियर्ड्सचे  A  B  C  असे ३ चेंडू असताना माशीची घाण पसरण्याकरता शक्य असलेले  ६ पर्याय  आहेत   

                      A ---> B    A --->C   B ---> C    B --->A   C  --->A    C  --->B

बिलियर्ड्सचे  A  B  C  D   असे ४ चेंडू  मेजावर असताना माशीची घाण पसरण्याकरता शक्य असलेले  १२ (म्हणजेच ४x३) पर्याय  आहेत   
                     A  --->B   B --->C   C --->D   B --->D   
A --->C A--->D   B --->A    C --->B   
D --->C   D --->B   C ---> A   D --->A 

बिलियर्ड्सचे  A  B  C  D  E  असे ५ चेंडू  मेजावर असताना माशीची घाण पसरण्याकरता शक्य असलेले  २० (म्हणजेच ५x४) पर्याय  आहेत   
                    A --->B    B --->C   C --->D   D --->E   B --->A   
C --->B  D --->C   E --->D A --->C   A --->D   
A --->E    C --->A   D --->A    E --->A    B --->D   
B --->E    D --->B   E --->B    C --->E   E--->C 

बिलियर्ड्सचे  A  B  C  D  E  F असे ६ चेंडू  मेजावर असताना माशीची घाण पसरण्याकरता शक्य असलेले  ३० (म्हणजेच ६x५) पर्याय  आहेत   
                  A --->B   B --->C   C --->D   D --->E   E --->F   B --->A 
 C --->B   D --->C   E --->D  F --->E     A --->C   A --->B   
A --->E   A --->F    C --->A   D --->A   E --->A   F --->A                                      
B --->D   B --->E   B--->F   D --->B    E --->B   F --->B                                      
C --->E   C ---> F   E --->C   F --->C   D --->F   F --->D 

आपण जसजसे हे मेजावरचे बिलियर्ड्सचेचेंडू  वाढवत नेऊ तसतसे माशीला उपलब्ध  पर्याय  वरीलप्रमाणे प्रत्यक्ष  रचना करून तपासणे कठीण होणार आहे, पण त्याकरता एक गणिती सूत्र वापरता येईल.  जर आपल्याला  n वस्तूंमधल्या (म्हणजे मेजांवरील  n चेंडूंमधल्या)  r वस्तू  (कुठल्याही चेंडूवरची माशीची घाण एकावरून दुसऱ्यावर जाण्याकरता शक्य असलेले मार्ग) त्या निवडलेल्या वस्तूंचा क्रम देखील लक्षात घेऊन निवडायच्या असतील (म्हणजेच   A ---> B आणि  B --->A  हे दोन वेगळे प्रकार धरायचे आहेत) तर त्याकरता वापरायचे सूत्र आहे 

n x  (n - १) x  (n - २) x(n - ३) x(n - ४) x(n - ५) x   . . . . . . . . x १  
-----------------------------------------------------------------------------------                                                     
(n  - r ) x (n - १) x  (n - २) x(n - ३) x(n - ४) x(n - ५) x   . . . . . . . . x १

 Example: How many ways can first and second place be awarded to 10 people?

10!/(10-2)! = 10!/8! = 3,628,800/40,320= 90

(which is just the same as: 10 × 9 = 90)

म्हणजेच आपण n मधल्या r शक्यता Permutation  पद्धतीने निवडत होतो. गणिताशी सख्य (थोडेबहुत तरी) असणाऱ्या वाचकांसाठी  

P (n,r) = nPr = ( n!)/ (n - r)!

                                                 n ! = n x  (n -१) x  (n -२) X  (n - ३) . . . . . . . . . . . x  १

आता आपल्या मिलानमधल्या सान सिरो या अवाढव्य स्टेडियमवर जमलेल्या ४०,००० ते ५०,००० प्रेक्षकांचा विचार करू. तात्पुरते असेही समजू  की हे सगळे प्रेक्षक एकाच वेळी आपापल्या जागेवर येऊन स्थानापन्न झाले आहेत आणि शहाण्या मुलांसारखे कांहीही हालचाल न करता आपापल्या जागी बसलेले आहेत. म्हणजे हे प्रेक्षक आपल्या "model" मधील  बिलियर्ड मेजावरचे  न  हलणारे  नुसतेच पसरलेले  static चेंडू मानता येतील.  तर "आपल्या" (एकाच) माशीला  या  चेंडूंवर "एकातून (फक्त) दुसऱ्यावर" अशी किती वेगवेगळ्या पद्धतीने "घाण" पसरवता येईल ? 

वरील सूत्रानुसार या पद्धती असतील 
 ४०,०००  चेंडू  (म्हणजे स्थिर असलेले प्रेक्षक) असताना = ४०,००० x ३९,९९९ = १,५९९,९६०,००० 
५०,०००  चेंडू  (म्हणजे स्थिर असलेले प्रेक्षक)असताना = ५०,००० x ४९,९९९ = २,४९९,९५०,००० 

माशी बिलियर्ड मेजावर आलीच नाही ; आली पण चेंडूवर बसलीच नाही;  चेंडूवर बसली पण घाण केलीच नाही; जे दोन चेंडू एकमेकांपासून ६ फुटापेक्षा जास्त अंतरावर होते त्या दोन चेंडूंमध्ये माशी इकडून तिकडे जाऊ शकली नाही अशा अनेक शक्यतामुळे "किती पद्धतीने घाण पसरू शकेल?" याचे उत्तर काही पटीने कमी होईल पण  तेच उत्तर इतर काही परिस्थितीमध्ये अनेक पटीने वाढेल देखील कारण आपले हे "static model"  सान सिरोच्या dynamic" परिस्थितीत वापरताना लक्षात ठेवावे लागेल की   
      - माशी एकच नसेल तर कोट्यावधी असतील (जसे "बाधित" व्यक्तीच्या सोबत इकडे तिकडे पसरू शकणारे विषाणू)      
- माशी चेंडूवर पोचण्याची आणि नंतर ते चेंडू इकडेतिकडे पसरण्याची घटना अनेक वेळा वेगवेगळ्या  ठिकाणी आणि वेगवेगळ्या configuration
मध्ये होत असेल जसे सान सिरो  स्टेडियमवर जमलेल्या ४०,००० ते ५०,००० प्रेक्षकांपैकी अनेक लोक लहान मोठ्या घोळक्यांनी     
-    मिलानमध्ये  पोचले,          
-    मिलानमध्ये  भेटले, मिसळले, फिरले ,          
-    सामना सुरू होण्यापूर्वी, मध्यंतरात आणि त्यानंतर लहान मोठ्या घोळक्यांनी स्टेडियममध्ये  भेटले, मिसळले, इकडे तिकडे फिरले           
-    सामना सुरू असताना अनेक लहान मोठ्या घोळक्यांमध्ये  स्टेडियममध्ये नाचले, एकमेकांच्या गळ्यात पडले  इ.इ. इ.           
-    मिलानमधून परत जाताना रेंगाळले आणि मगच परत  गेले,   

जर आपण थोडेसेच "बाधित" लोक (जे अजून त्यांच्या स्वतःच्याही लक्षात आलेले नाही, आणि तात्पुरते ते फक्त "carrier" आहेत, म्हणजे आपल्या "model " मधली एखादीच माशी चेंडूंवर  बसण्याकरता विचारांत आहे), इतरांबरोबर आले, फिरले, सामना बघून परत गेले असे म्हटले तर 

प्रत्येकी ४ लोकांच्या (एकमेकांशी संबंध नसलेल्या) घोळक्याने जर ४०,००० लोक मिलानमध्ये पोचले तर त्यांच्या प्रवासांत "आपल्या माशीची घाण" प्रत्येक
घोळक्यात  ४ x  ३  अशा १२ प्रकारे आणि अशा एकूण ४०,०००/४ = १०,०००  वेळा म्हणजे १२०,००० पद्धतीने  पसरू शकेल. 

पण त्याऐवजी प्रत्येकी ५ लोकांच्या (एकमेकांशी संबंध नसलेल्या) घोळक्याने जर ४०,००० लोक मिलानमध्ये पोचले तर त्यांच्या प्रवासांत "आपल्या माशीची घाण"         प्रत्येक घोळक्यात ५  x  ४  अशा २० प्रकारे आणि अशा एकूण ४०,०००/५ = ८,०००  वेळा म्हणजे १६०,००० पद्धतीने  पसरू शकेल. 

आणि अशाच तऱ्हेने वरच्या प्रत्येक टप्प्यावर  प्रत्येकी हजारो  किंवा लाखो permutations शक्य असल्याने वातावरणातल्या कोणत्याही एका विषाणूला अनंत तऱ्हेनी त्याच्या आजूबाजूच्या माणसापर्यंत पोचता येईल. जितके विषाणू जास्त आणि/किंवा त्यांच्या प्रसारणाकरता माध्यमे (म्हणजे एकत्रित माणसे) जास्त तितके विषाणू माणसापर्यंत पोचणे आणखीनच सोपे असेल. विषाणूला जितक्या थोड्या वेळांत (म्हणजे त्याची उपद्रवी शक्ती संपण्याआधी) कोणीतरी गांठण्यात "यश" मिळेल आणि जितका असा "बळी" (की ज्याच्या शरीरांत विषाणूंचे स्वतःच्या प्रतिमा तयार करण्याचे काम सुरू झालेले असेल) इतरांच्या संपर्कांत येईल तितका हा एका ठिकाणी लागलेला वणवा जोमाने इकडे तिकडे पसरेल. आणि म्हणून अशा अनंत तऱ्हेने  माणसांपर्यंत पोहोचू शकणाऱ्या अनेक विषाणूना जरी अगदी थोडक्याच प्रमाणांत "यश" मिळाले तरी "बाधित" लोकांचा आकडादेखील प्रचंड मोठा असेल.  

आता या सगळ्या वेगवेगळ्या घटनांचा विषाणूशास्त्रीय, गणितशास्त्रीय इ. इ. पद्धतीचा अभ्यास झाल्यावर मगच एखादे dynamic model तयार होईल आणि कुठल्या परिस्थितीत किती प्रमाणांत   "लागण" होईल याच गणिती अंदाज शक्य होईल. 

हा सगळाच प्रचंड आकड्यांचा (extremely large numbers), random movements, uncertainties, active life time of the virus अशा अनेक ज्ञात आणि (अजून तरी) अज्ञात variables आणि अनेक वेगवेगळ्या शास्त्रांतील कल्पनांचा आणि संशोधनाचा मेळ असल्याने फक्त एक अंदाज यावा याकरता हा सगळा मोठ्या आकड्यांचा पसारा.     

जाता जाता:
Corona  Virus चा प्रसार हा जरी सध्या जगभरातला प्रश्न झालेला असला तरी "power of  numbers" याचे हे एक उदाहरण अनेकांनी गोष्टीरूपांत वाचलेच असेल:    

एका राजाकडे "इच्छा दान" मागणाऱ्याने "बुद्धीबळाच्या पटावरच्या  (६४ घरांपैकी) पहिल्या घरावर १ गव्हाचा दाणा, दुसऱ्यावर २ दाणे, तिसऱ्यावर २ x २=४
गव्हाचे दाणे,  चौथ्यावर ४ x ४=१६  गव्हाचे दाणे अशा  वर्गप्रमाणांत  "पटभर" गव्हाचे दाणे मागितले.  "त्यांत काय मोठे" अशा घमेंडीतल्या (गणित माहीत
नसलेल्या) राजाने मागवलेली गव्हाची पोतीच्या   पोती जेव्हा अपुरी पडू लागली, तेव्हा राजा गोंधळला. नंतर गणिताने असे ठरवता आले की या
इच्छादानाकरता एकूण  "फक्त" १८,४४६,७४४,०७३,७०९,५५१,६१५ दाणे लागतील, आणि त्यावरून केलेला पोत्यांचा वगैरे अंदाज ऐकून राजाने हे दान
देण्याची आपली असमर्थता मान्य केली. 

(हे "पटभर" गहू म्हणजे सुमारे १,१९९,०००,०००,००० मेट्रिक टन किंवा पूर्ण जगातल्या सध्याच्या गव्हाच्या वार्षिक उत्पादनाच्या काही हजार पट असतील).