वेग आणि विस्थापन – एकाच नाण्याच्या दोन बाजू (Relation between Velocity and Displacement)

राजा विक्रम जसा वेताळाच्या भेटीसाठी निघत असे तस तस त्याला त्याचं विकट हास्य आठवून थरकाप होई पण त्यापेक्षा जास्त त्याचे प्रश्न ऐकून तो विचारात पडे. त्याप्रश्नांचा विचार करता करता वेताळाचं थरकाप उडवणारं रूप विसरायला होई. कधी कधी हा वेताळच आहे का पूर्व जन्मी शास्त्रज्ञ असलेल्या माणसाचं भूत आहे असेही विचार चमकून जात. “राजा फार विचार करतोस माझ्या पूर्वजन्माचा. तेवढा विचार माझ्या या प्रश्नाचा कर. एक माणूस एका दगडाला लाथ मारतो. दगडाला स्वत:ची बुद्धी नाही. तो पडून होता. लाथ मारली तेव्हा तो फरफटत गेला. मग या साध्या गोष्टीत तुम्ही विस्थापन, वेग, बल वगैरे भुतं का काढली? आणि त्यांना ओळखून काय मिळतं? ज्या वेगाबद्दल तू बोलतोस तो काय एकच असतो? ते भूतही दरक्षणाला वेगवेगळा आकार धारण करतं” “वेताळा मान्य आहे, या साध्या गोष्टी आहेत, पण माणसांमधल्याच काही विचारी शास्त्रज्ञांनी यांना दिव्य दृष्टीनं पाहिलं आणि त्याहीपेक्षा वेगवेगळ्या कल्पनेच्या करामती करून त्यांना मोजण्याच्या व त्यांना समजून घेण्याच्या युक्त्या काढल्या. तू म्हणतोस ते बरोबर आहे. वेगाचं मोजमाप ही एक मजेशीरच गोष्ट आहे. प्रत्येक क्षणाला तो गोळा किती अंतर जातो हे कसं बघणार तेवढी दृष्टी कोणाला आहे? त्या गोळ्यावर बसून त्याचा वेग कोण मोजणार? पण जिथे जिथे माणूस जाऊ नाही तिथे तिथे माणसाची बुद्धी मात्र गेली. म्हणून काय केलं की एकूण अंतर मोजलं (s) व प्रवासासाठी लागलेला एकूण काळ (t) मोजला. अंतराला काळाने भागलं तर मिळाली चाल (speed). अदीश तर मिळाली.” “अरे कळलं रे..किती वेळा तेच ते सांगशील? मुद्द्याचं बोल..हे सदीश भूत आणि ही मोजमापं कशी केली?” “ तेच सांगतोय..हा वेग बदल मोजायला लिबनिझ नावाच्या अंतर्ज्ञानी शास्त्रज्ञाने एक कल-विकल (Derivative-Integration) पद्धत शोधून काढली.” “कल(derivative) पद्धत म्हणजे?” “अरे वेताळा चंद्राचं तू पाहतोस. अमावस्येला काहीच नसतो, पौर्णिमेला पूर्ण असतो. मधले दिवस कलाकलांनी वाढत जातो. अमावस्या आणि पौर्णिमा या केवळ काळ पुढे सरकत असल्यामुळे आपणाला दिसणाऱ्या गोष्टी. पण चंद्र तोच असतो. हेच उदाहरण आपण आपल्या बाबतीत बोलायचं झाल्यास वस्तू जागची हलू लागली की तिला काळामुळे व तिच्या हालचालीमुळे विस्थापन येउन चिकटते. वर आपण जशी चंद्रकला बघितली तशी काही शास्त्रज्ञांनी एका आयताची कल्पना केली, केवळ मोजण्याच्या सोयीसाठी. त्या आयताच्या बाजू म्हणजे काळ (t) आणि वेग (v). याला कारण म्हणजे अंतर = चाल / काळ हे आपल्याला पक्कं माहित आहे. शिवाय आयताचे क्षेत्रफळ (Area of rectangle) = लांबी (length) x रुंदी (breadth) हे ही सिद्ध झालेलं आहे. मग या दोन गोष्टींची सांगड घातली तर काय मिळतं?” (आकृती १) “अच्छा म्हणजे आयताची लांबी(l) म्हणजे काळ(t), रुंदी(b) म्हणजे वेग (v). वेगाला काळाने गुणले म्हणजे आले विस्थापन (s). म्हणजे विस्थापन हे त्या आयताचे क्षेत्रफळ. वेग (आयताची लांबी) x वेळ(आयताची रुंदी) = विस्थापन(आयताचे क्षेत्रफळ) राजा मला आयतंच उल्लूक बनवतोयस. यातून काय सिद्ध झालं?” “अरे वेताळा, असं बंघ. वस्तू जागची हाललीच नाही तर विस्थापन नाही(s=0), म्हणजे वेग (v=0). त्या वस्तूला जोरात ढकललं तर लवलेल्या बळाचा परिणाम म्हणून ती वस्तू पुढे पुढे जात राहील. आता तिच्या प्रवासाचं वर्णन दोन प्रकारांनी करता येईल तिच्यावर बलप्रयोग(F) केल्यानं तिला वेग(v) प्राप्त झाला व म्हणून ती मोजमापासाठी ठरवलेल्या काळात (t)बळाच्या दिशेने काही अंतर(s) गेली. याचं मोजमाप करण्यासाठी सुरुवातीला सरासरी वेग काढू. सरासरी वेग(V) = कापलेले अंतर(s) / लागलेला काळ (t). यावरून एक कल्पित आयत काढू. या कल्पित आयताच्या बाजू काळ आणि वेग. समजण्याच्या सोयीसाठी ती वस्तू एकसमान वेगाने जात आहे असे समजू. आता याच आयताचे अनेक लहान लहान एकसमान उभे तुकडे करूया. आता त्या लहान तुकड्यांसाची रुंदीची बाजू म्हणजे काळाचा भाग एक सेकंद समजूया. म्हणजे दरक्षणाला हा आयत कापला तर प्रत्येक क्षणाचा वेग हा एकसमान म्हणजे V इतकाच आहे. याचाच अर्थ विस्थापन आणि वेग यांच्यात काहीतरी प्रमाण आहे हे निश्चित. आता बदलणाऱ्या वेगासाठी तिच्या प्रवासाचं वर्णन दुसऱ्या पद्धतीने करु. वरच्या लहान लहान आयतांच्या वरून असे समजू की दरक्षणाचा वेग (Δv) = त्याक्षणाला झालेले विस्थापन (Δs) / तो क्षण (Δt). आता मी असं ठरवलं की दरसेकंदाचा वेग पहायचा. म्हणजे t हा मी एकसमान केला तर मला हे लक्षात येतं की वेग हा विस्थापनाच्या प्रमाणात किंवा विस्थापन हे वेगाच्या प्रमाणातबदलत राहतात. यांचा एक दरसेकंदाचा माग काढू. (आकृती २) या वरून असं लक्षात येतं की दर सेकंदाला असलेले विस्थापन आणि वेग सारखेच. म्हणजेच विस्थापनाचे दरसेकंदाचे कल (Differential) हे त्या वेळचा वेग होय. Dv = ds / dt याच सारणीवरून असंही लक्षात येतंय की सर्व क्षणिक वेगांची बेरीज करत गेलं की त्या पूर्ण प्रवासात कापलेले अंतरही मिळतंय. (आकृती ३) आयतांच्या क्षेत्रफळांच्या भाषेत बोलायचं तर वस्तूने कापलेले एकूण अंतर = v1xt1+v2xt2+…+v10xt10 दर सेकंदाचा कालावधी सारखाच धरला t(t1=t2=t10) तर अंतर = (v1+v2+…+v10)xt म्हणजेच वेगबदलांची बेरिज केली व त्याला प्रमाण काळाने गुणले तर मिळते ते विस्थापन. या उलट अंतराचे क्षणाक्षणाला मोजमाप केले तर काय मिळते ? वस्तूने t1 मध्ये d1, t2 मध्ये d2, t3 मध्ये d3..t10 मध्ये d10 अशी विस्थापने केली तर क्षणिक वेग काय झाले? क्षणिकवेग d1/t1, d2/t2, d3/t3…d10/t10 असे झाले. यात t1, t2, t3..t10 हे एक सेकंद मानले तर क्षणिक वेग हा त्या सेकंदाच्या विस्थापना इतकाच निघाला. म्हणजे वेगाची उत्त्पत्त्ती ही केवळ विस्थापनामुळे किंवा स्थान बदलामुळे झाली हे कळले. जर विस्थापनच झाले नसते तर d=0 झाल्याने वेग सुद्धा v=d\t या न्यायाने v=0 झाला असता. म्हणूनच विस्थापन आणि वेग यांच्यातलं परस्पर अवलंबित्व सिद्ध करण्यासाठीच कल(Differentiation) आणि विकला(Integration)चा उपयोग केला गेला. ” S (विस्थापन) = प्रवासाच्या पूर्ण कालावधीतील प्रत्येक सूक्ष्मकाळात असणाऱ्या तात्कालिक वेगांचे एकत्रीकरण (Integration) सूक्ष्म काळातला V (वेग) = प्रत्येक सूक्ष्मकाळात असणाऱ्या (Differential) विस्थापनाचे कालाशी असणारे गुणोत्तर” “अरे राजा किती रे हा शब्दपसारा. पण तू वेगातल्या बदलाबद्दल काहीच बोलला नाहीस? तुम्हाला त्याचं मोजमाप करणं अजून सुचलेले दिसत नाही. पण माझी वेळ झाली व मी निघालो..पुन्हा भेटू..तू अजूनही सुटला नाहीयेस हाऽहाऽऽहाऽऽऽ” (क्रमश:) © अनिकेत कवठेकर