Skip to main content

खंडित दोरखंड

लेखक हुप्प्या यांनी शुक्रवार, 01/06/2012 23:59 या दिवशी प्रकाशित केले.

१. एका माणसाकडे १ मी. लांबीचे दोराचे अनेक तुकडे आहेत.
समजा प्रत्येक तुकड्याचे अजून दोन तुकडे केले आणि त्यातला छोटा एका डब्यात टाकला (ह्या डब्याला धा(कला) म्हणू) आणि मोठा दुसर्‍या डब्यात (ह्या डब्याला थो(रला) म्हणू या). आता गणिती सोयीसाठी असे समजू की प्रत्येक १ मी तुकडा, कुठे कापला जाईल ह्याला काही नियम नाही. ० मी. पासून १ मी. पर्यंत कुठेही तो कापला जाऊ शकेल.
(uniformly distributed random variable from 0 to 1)

आता धा डब्यातल्या तुकड्यांची सरासरी लांबी काय असेल?
आणि थो डब्यातल्या तुकड्यांची सरासरी लांबी काय असेल?

२. आता समजा प्रत्येक १ मी. दोराचे दोन ऐवजी तीन तुकडे केले. त्यातला सगळ्यात लांब थो डब्यात आणि धाकला धा डब्यात टाकत गेलो तर
धा डब्यातल्या तुकड्यांची सरासरी लांबी काय असेल?
आणि थो डब्यातल्या तुकड्यांची सरासरी लांबी काय असेल?

वाचने 2671
प्रतिक्रिया 13

प्रतिक्रिया

क्लिंटन शनिवार, 02/06/2012 00:43

दोन तुकड्यांच्या बाबतीत माझे पण हेच उत्तर येत आहे. याचे काहीतरी गणिती समीकरण असेलच. रात्र झाली असल्याने झोप आली आहे आणि आता डोके अजिबात चालत नाही. तेव्हा एक्सेलवर खेळून ० आणि १ मधील ३० हजार random numbers जनरेट केले. त्यातील मोठ्याला "थो" म्हटले आणि लहानाला "धा" म्हटले. या "थो" ची सरासरी ०.७५ च्या आसपास येते (०.७४९०४१ वगैरे) आणि "धा" ची सरासरी ०.२५ च्या आसपास येते. अर्थात प्रश्न वाचल्यावर हेच उत्तर असेल असे वाटले होते. त्यामागचे formulation शोधायच्या स्थितीत मी सध्या नाही :)

चिरोटा शनिवार, 02/06/2012 00:27

पहिल्याचे उत्तर- समजा १००० दोर असतील तर उत्तर येतेय-०.५० व ०.४९. समजा १०० दोर असतील तर उत्तर ०.४६ व ०.५३ असे काहीसे येईल.

राजेश घासकडवी शनिवार, 02/06/2012 04:57

दोन तुकड्यांच उत्तर ३/४ व १/४ हे बरोबर आहे.

त्याच्यामागचं लॉजिक असं:

दोर कापल्यावर एक तुकडा मोठा असेल, एक लहान असेल. आपण जर नेहमी मोठा तुकडा डाव्या बाजूला ठेवला आणि छोटा तुकडा उजव्या बाजूला ठेवला तर आपल्याला काय दिसेल? छेद नेहमीच उजव्या बाजूच्या अर्ध्या भागात असेल. त्यामुळे उजव्या बाजूच्या, किंवा छोट्या तुकड्याची लांबी ० ते ०.५ इतकी रॅंडमली असेल. तेव्हा सरासरी लांबी १/४. अर्थातच मोठ्या तुकड्याची सरासरी लांबी ३/४.

मात्र तीन तुकड्यांच्या बाबतीत हे तितकं सोपं नाही. माझं अनमानधपक्याचं उत्तर - तीन तुकड्यांची सरासरी लांबी १/२, १/३, व १/६.

दिपोटी शनिवार, 02/06/2012 10:19

राजेश घासकडवी,

पहिल्या कोड्यातील मोठ्या तुकड्याचं उत्तर तुमच्या लॉजिकने असंही ताडून बघता येईल : मोठ्या तुकड्याची लांबी ०.५ ते १ इतकी रॅंडमली असेल, तेव्हा सरासरी लांबी ३/४.

दुसर्‍या कोड्याचं उत्तर - अनमानधपक्याने (म्हणजे नेमके कसे?) कशाला - तुमचंच लॉजिक वापरुन असं येतं : सर्वात छोट्या तुकड्याची लांबी ० ते ०.३३ (१/३) इतकी रॅंडमली असेल, तेव्हा सरासरी लांबी १/६. मधल्या तुकड्याची लांबी ० ते ०.५ (१/२) इतकी रॅंडमली असेल, तेव्हा सरासरी लांबी १/४. अर्थातच मोठ्या तुकड्याची लांबी (१ - १/६ - १/४ =) ७/१२.

मात्र तुमचे उत्तर वेगळे आहे. असे का?

माझ्या मते, असे यामुळे : 'मधल्या तुकड्याची लांबी ० ते ०.५ (१/२) इतकी रॅंडमली असेल' हे माझे वर वापरलेले गृहितक मुळातच चुकीचे आहे. मधला तुकडा हा छोट्या तुकड्यापेक्षा लांबीला नेहमीच जास्त असल्याने या मधल्या तुकड्याची लांबी ० ते ०.५ यामध्ये विभागली असली तरी ती सम-प्रमाणात मात्र विभागलेली (uniformly distributed) नाही आहे. या मधल्या तुकड्याची लांबी कमी वेळा ० च्या जवळ आणि अधिक वेळा ०.५ च्या जवळ (पण अर्थातच ०.५ हून कमी) असेल. थोडक्यात म्हणजे या मधेल्या तुकड्याची लांबी ० ते ०.५ या मर्यादांमध्ये रॅंडमली नसून जास्त लांब असण्याकडे तिचा कल असेल. तेव्हा याची सरासरी लांबी सुध्दा १/४ हून अधिक (पण अर्थातच १/२ हून कमी) असेल. तेव्हा तुमचे उत्तर १/३ (हा आकडा १/४ हून मोठा असल्याने) बरोबर असण्याची शक्यता वाढते. अर्थात हे सर्व अचूकरीत्या (गणिती पध्दतीने) सिध्द करण्यासाठी - अनमानधपक्याहून - जास्त पुरावा लागेल.

- दिपोटी

राजेश घासकडवी शनिवार, 02/06/2012 10:28

या मधल्या तुकड्याची लांबी कमी वेळा ० च्या जवळ आणि अधिक वेळा ०.५ च्या जवळ (पण अर्थातच ०.५ हून कमी) असेल. थोडक्यात म्हणजे या मधेल्या तुकड्याची लांबी ० ते ०.५ या मर्यादांमध्ये रॅंडमली नसून जास्त लांब असण्याकडे तिचा कल असेल.

बरोब्बर. मी तसाच विचार करून अंदाजे १/३ लिहिलं होतं. मात्र गणिती मांडणी थोडी क्लिष्ट आहे. म्हणूनच प्रश्न छान आहे. अगदी सोप्या भाषेत मांडता येतो, साधारण उत्तराचा अंदाज घेता येतो, पण अचूक काय ते चटकन सापडत नाही. क्लिष्ट गणिती मांडणी करावी की काहीतरी आउट ऑफ द बॉक्स थिंकिंग करण्याचा प्रयत्न करावा कळत नाही.

यकु शनिवार, 02/06/2012 10:46

अर्थात हे सर्व अचूकरीत्या (गणिती पध्दतीने) सिध्द करण्यासाठी - अनमानधपक्याहून - जास्त पुरावा लागेल.

नेमका कोणता पुरावा?

दिपोटी रविवार, 03/06/2012 08:17

यकु,

'पुरावा' म्हणजे मला 'एक गणिती पुरावा' / a mathematical proof असे म्हणायचे आहे (म्हणजेच गणिताच्या पध्दतीने सिध्द करुन दाखवणे ... 'एखाद्या गणितीला पुरावा' अशा अर्थाने नाही ... ह. घ्या).

हुप्प्या यांच्या कोड्याचे उत्तर गणित आणि तर्कशास्त्र यांचा आधारावर शोधून काढता येईल. मात्र यासाठी जी क्लिष्ट व किचकट आकडेमोड होऊ शकेल, ती 'मिसळपाव'सारख्या मिश्र आवडी-निवडींच्या social संस्थळावर काहींना निश्चितच कंटाळवाणी वाटू शकेल. मात्र शास्त्रीय / गणिती पध्दतीने कोडी सोडवण्यात ज्यांना स्वारस्य आहे, त्यांच्यासाठी मात्र हे एक रंजक आणि आव्हानात्मक कोडे ठरेल.

शेवटी काय, कोणाला कशा-कशामध्ये अनूभूती-प्रचीती-आनंद मिळेल हे सांगता येत नाही. Each one is right in his/her own way for himself/herself.

पिंडे पिंडे मतिर्भिन्नः ...

- दिपोटी