शुल्बसूत्रामधील भूमिति - भाग २.

’२’ चे वर्गमूळ.

प्रमाणं तृतीयेन वर्धयेत्तच्च चतुर्थेनात्मचतुस्त्रिंशोनेन। सविशेष:।बौधायन २.१२.

इतर शुल्बकारांनीहि जवळजवळ ह्याच शब्दांमध्ये ’२’च्या वर्गमूळाचे हे मूल्य दाखविले आहे.
सरळ अर्थ - प्रमाण बाजूमध्ये तिचा तिसरा भाग वाढवावा, त्या तिसर्‍या भागाचा चौथा भाग वाढवावा, त्याचा चौतिसावा भाग कमी करावा. त्यात अजून काही थोडे मिळविले (की इष्ट उत्तर मिळते.)
टिप्पणी - दिलेल्या चौरसाच्या दुप्पट आकाराचा चौरस निर्माण करण्याची पद्धति येथे संक्षिप्तपणाने दर्शविली आहे. अशा दुप्पट आकाराच्या चौरसाची बाजू = मूळच्या चौरसाचा कर्ण हे उघड आहे. मूळ चौरसाच्या बाजूचे प्रमाण = १ असे मानल्यास त्या चौरसाचा कर्ण = वर्गमूळ २. ’२’ चे वर्गमूळ म्हणजे किती हे येथे दर्शविले आहे. ’१ + १/३ + १/(३*४) - १/(३*४*३४) + थोडेसे वर (सविशेष)’ असे हे ’२’ चे वर्गमूळ दाखविले आहे. आकडेमोड केल्यास १ + १/३ + १/(३*४) - १/(३*४*३४) = १.४१४२१५६... आणि वर्गमूळ २ = १.४१४२१३... हे पाहिल्यावर असे जाणवते की शुल्बकारांना माहीत असलेले उत्तर खर्‍या उत्तराच्या खूपच जवळचे आहे.
हे उत्तर त्यांनी कसे शोधून काढले असावे? ह्या प्रश्नाचे कसलेच उत्तर - उघड किंवा सूचक - शुल्बसूत्रांमध्ये अथवा त्याच्या कोणत्याहि टीकेमध्ये दिसत नाही. हे कोडे सोडवण्याचा एक प्रयत्न पहिल्या भागामध्ये उल्लेखिलेल्या थिबो ह्यांच्या पु्स्तकामध्ये आहे. त्याकडे काही वेळानंतर वळू.
तत्पूर्वी शुल्बकारांना उपलब्ध असलेले संख्याज्ञान कशा प्रकारचे होते आणि त्यांचे अंकगणितातील क्रियांचे ज्ञान कशा प्रकारचे होते हे पाहायला लागेल. १, २, ३ अशा नैसर्गिक पूर्ण संख्या, हातापायाच्या १० बोटांवरून १०, १००, १००० अशा संख्या आणि ह्यांच्या संकलनाने (बेरीज) आणि व्यवकलनाने (वजाबाकी) निर्माण होऊ शकणार्‍या उर्वरित नैसर्गिक पूर्ण संख्या मनुष्यजातीने सहज निरीक्षणामधून निर्माण करून त्या भिन्नभिन्न दर्शविण्यासाठी आवश्यक ती चिह्नेहि निर्माण केली असणे स्वाभाविकच मानता येईल. रोमन संस्कृतीने निर्माण केलेली अशी चिह्ने अजूनहि मर्यादित वापरात आहेत. शुल्बकालीन भारतीयांची अशी चिह्ने काय होती ह्याचा काहीच पुरावा उरलेला नाही, यद्यपि अशी चिह्ने असणार हे निश्चित. तशाच नैसर्गिक विचाराने मोठया समुच्चयाचे एकाच आकाराच्या लहान समुच्चयांमध्ये विभाजन करणे - जसे की १० चे ५ आणि ५ असे दोन बिभाग, १८ चे ६,६,६ असे तीन विभाग - हेहि माहीत असणार. (परंतु १० चे ३ भाग कसे होऊ शकतील हा विचार त्यांच्या झेपेपलीकडील होता.) दोन संख्यांचे संकलन (बेरीज) अथवा त्यांपैकी एकातून दुसरी घालविणे असे व्यवकलन (वजाबाकी) ह्या कृतीहि नैसर्गिकत: सुचणार्‍या आहेत. मात्र ’शून्य’ ह्या संकल्पनेची निर्मिति आणि तिचा वापर करून संख्येच्या स्थानावरून तिचे मूल्य १० च्या पटीत बदलणे हे ज्ञान अजून काही शतके दूरच होते आणि त्याशिवाय गुणाकार आणि भागाकार हेहि शक्य नव्हते. (रोमन आकडे वापरून गुणाकार करता येत नाही ह्यावरून हे स्पष्ट होईल.) शेती आणि पशुपालन हे मुख्य व्यवसाय असलेल्या आणि संपूर्णत: यन्त्रविरहित असलेल्या समाजाला आपले दैनंदिन जीवन चालविण्यासाठी ह्याहून अधिक गणितज्ञानाची आवश्यकताहि नव्हती.
अशा स्थितीत एका संख्येपासून ज्याला आपण ’वर्ग’ म्हणतो अशी दुसरी संख्या कशी काढायची? उत्तर सोपे आहे. ५ चा वर्ग काढायचा म्हणजे धान्याचे दाणे ५ च्या ओळींमध्ये एकाखाली एक अशा ५ वेळा ठेवायचे आणि एकूण दाणे मोजायचे.
दिलेल्या चौरसाच्या दुप्पट क्षेत्रफळाचा वर्ग कसा काढायचा? दिलेला चौरस शेजारीशेजारी दोन वेळा मांडायचा आणि त्यातील दाणे खालील आकृतीत दाखविल्याप्रमाणे मांडून नवा चौरस मिळतो का हे पाहायचे. आकृतीत ५ इतकी बाजू असलेले दोन चौरस शेजारीशेजारी काढून तेच धान्याचे दाणे वेगळ्या मार्गाने मांडून नवा चौरस मिळतो काय हे पाहण्याचा प्रयत्न केला आहे. असे दिसते की ७ बाजू असलेला नवा चौरस ह्यातून निघतो पण १ दाणा शिल्लक राहतो. हा प्रयोग कोठल्याहि संख्येवर केला तरी सगळे दाणे वापरून नवा चौरस निर्माण करता येत नाही हे लवकरच ध्यानात येते. प्रत्येक वेळी काही दाणे उरतात तरी किंवा कमी पडतात. म्हणजेच केवळ पूर्णांक आणि पूर्ण विभाजन देणारे भागच केवळ वापरून दुप्पट आकाराचा चौरस निर्माण करता येत नाही हे लक्षात येते.

आता थिबो ह्यांच्या तर्काकडे वळू. निश्चित दुप्पट आकाराचा चौरस करता येत नाही तर नाही पण ’सर्वनाशे समुत्पन्ने अर्धं त्यजति पण्डित:’ असा विचार करून सर्वसाधारणत: अदमासाने दुप्पट म्हणता येईल असा चौरस तरी सापडेल काय असा विचार सुरू होतो. त्यासाठी प्रथम चौरसाची बाजू ’क्ष’ मानली तर त्या चौरसाचा कर्ण = क्ष × वर्गमूळ २ आहे हे उघड आहे. आता २क्ष२ च्या सर्वात जवळची वर्गसंख्या पाहायची. ती जर ’य२' असेल तर इष्ट उत्तर म्हणजे ’य’ असे ठरेल.
तेव्हा ’क्ष’, ’२क्ष२’ आणि त्याला सर्वात जवळचा वर्ग ’य२’ अशी पंक्ति १ पासून प्रारंभ करून मांडली. ती अशी: (१,२,१), (२,८,९), (३,१८,१६), (४,३२,३६), (५,५०,४९), (६,७२,६४), (७,९८,१००), (८,१२८,१२१), (९,१६२,१६९), (१०,२००,१९६), (११,२४२,२५६), (१२,२८८,२८९), (१३,३३८,३२४), (१४,३९२,४००), (१५,४५०,४४१), (१६,५१२,५२९), (१७,५७८,५७६), (१८,६४८,६२५), (१९,७२२,७२९), (२०,८००,७८४.) (हे शेपूट कितीहि वाढविता येईल पण सूत्रकारांना अपेक्षित तितके सूक्ष्मत्व एवढ्यामध्ये मिळत असल्याने येथे थांबू.)
वरच्या पंक्तीकडे दृष्टि टाकली की ध्यानामध्ये येते ’२क्ष२’ आणि ’य२’ ह्यांमधील सर्वांमध्ये कमी अंतर (१२,२८८,२८९) येथे आहे. म्हणजे १२ प्रमाण बाजू असलेल्या चौरसाची दुप्पट केली आणि त्या क्षेत्रफळाचा चौरस निर्माण केला तर तो इष्ट चौरस १७ प्रमाण बाजू असलेल्या चौरसाच्या तुलनेत अगदी स्वल्प प्रमाणात लहान आहे. ह्याचाच अर्थ असा की ’वर्गमूळ २’ हे १७/१२ ह्या अपूर्णांकाच्या तुलनेत सूक्ष्म प्रमाणात लहान आहे.
ही सूक्ष्मता मोजण्यासाठी थिबो ह्यांनी पुढील आकृतीमध्ये दर्शविलेली रचना सुचविली आहे.

. शेजारच्या आकृतीमध्ये ’अबकड’ ह्या चौरसाची प्रत्येक बाजू १७ प्रमाण एकक - unit - आहे. त्याचे क्षेत्रफळ २८९ चौरस एकक इतके आहे आणि त्यामध्ये १ × १ अशा मानाचे २८९ छोटे चौरस आहेत. ’अबकड’ ह्या चौरसाची प्रत्येक बाजू इतकी आकुंचित करायची की आकुंचित चौरसाचे क्षेत्रफळ २८८ चौरस एकक इतके राहील. आता ’अबकड’ च्या अब बाजूकडून आणि बक बाजूकडून १/३४ एकक इतक्या रुंदीच्या अबअ२अ१ आणि बकक१क२ अशा पट्ट्या कापून घ्या. ह्या दोन पट्ट्या कापल्या म्हणजे १/३४ × १७ + १/३४ × १७ = १ चौरस एकक इतके क्षेत्र अबकड ह्या चौरसातून काढून घेतले जाईल आणि १६३३/३४ अशा बाजूचा आणि २८८ चौरस एकक क्षेत्रफळ असलेला अ१इक१ड असा चौरस मिळेल.
हे पूर्ण उत्तर आहे का? तर नाही. वर वर्णिलेल्या पट्ट्या कापतांना आणि त्यांचे क्षेत्र वजा करतांना क२बअ२इ असा १/३४ × १/३४ मापाचा चौरस दोनदा वजा झाला आहे कारण तो दोन्ही पट्ट्यांमध्ये आहे. वास्तवात तो एकदाच वजा होऊ शकेल. म्हणजे २८८ एकक क्षेत्रफळाची आकृति ही चौरस अ१इक१ड + चौरस क२बअ२इ अशा दोन चौरसांची बनली असेल. क२बअ२इ हे क्षेत्रफळ म्हणजेच सूत्रातील ’सविशेष’.

अ१इक१ड ह्या चौरसाची बाजू १६३३/३४ इतकी आहे हे आपण मगाशी पाहिले. थोड्या फरकाने हे मूल्य वर्गमूळ २ चे आहे. १६३३/३४ ही संख्या आपल्याला अशीहि लिहिता येईल -
१६३३/३४ = १७ - १/३४ = १२ + १२/३ + १२/३*४ - १२/३*४*३४
१२ हे मूळ चौरसाच्या लांबीचे मान असल्याने ते काढून टाकले की वर्गमूळ २ = १ + १/३ + १/(३*४) - १/(३*४*३४) + थोडेसे वर (सविशेष) हे विधान सिद्ध होते.
थिबोंच्याच मार्गाने विचार करून मला एक अधिक सोपी पद्धत सुचली. माझ्या समजुतीनुसार ही पद्धत मी अन्यत्र कोठेच पाहिलेली नाही. थिबो ह्यांच्या जवळ संगणक नव्हता. माझ्याकडे तो आहे आणि त्यावर एक्सेलहि आहे. त्याचा उपयोग करून मी 'क्ष','क्ष'चा वर्ग, त्याची दुप्पट आणि त्या दुपटीचे वर्गमूल असे क्ष =१ पासून क्ष = ७०० असे लांबलचक कोष्टक क्षणार्धात तयार केले. त्यावरून नजर टाकताच माझ्या लक्षात आले की ४०८ ह्या संख्येसाठी वर्गाच्या दुपटीचे वर्गमूळ ५७७ पासून केवळ ०.०००९ इतक्या अंतराने कमी आहे. इतकी जवळीक पहिल्या ७०० आकडयापैकी दुसरा कोठलाच आकडा दर्शवीत नाही. आता ४०८च्या पट्टीने मोजल्यास
५७७ = ४०८ + ४०८/३ + ४०८/३*४ - ४०८/३*४*३४.
शुल्बसूत्रकारांचे अंकगणिताच्या क्रियांचे ज्ञान आपल्याहून कमी होते हे वर म्हटलेले आहेच -आणि त्यांच्याकडे संगणकहि नव्हता! - पण त्यांच्याजवळ वेळ आणि चिकाटी मुबलक होती. '२ चे वर्गमूळ' ह्याचे त्यांनी दिलेले उत्तर कदाचित काही पिढयांच्या आणि वर्षांच्या दशक-शतकांच्या कामाचे अंतिम फलित असू शकेल. मी जे संगणकाच्या मदतीने केले तेच वेळ आणि चिकाटी वापरून शुल्बकारहि करू शकले असतील. त्यांच्या अंकगणिताच्या आणि भूमितिज्ञानाच्या मर्यादेत राहूनहि त्यांना हे कसे जमले असेल हे वर दर्शविलेच आहे.