६१७४

हा स्थिरांक शोधणार्‍या कापरेकर सरांबद्दल 'गणितानंदी कापरेकर' नामक छोटेसे पुस्तक प्रकाशित झालेले आहे.

नंबर थिअरीत एलेमेंटरी लेव्हलला अशा मजेशीर आयडेंटिटीज शोधण्यात त्यांचा हातखंडा होता. तुम्ही उल्लेखिलेल्या स्थिरांकाखेरीज अन्य काही शोधही जालावर मिळतील बहुधा. पुस्तकात वाचलेले आता आठवत नाहीये, ते पाहिले पाहिजे.

छान माहिती आहे. अजून शोधायला हवय याबद्दल.
धन्यवाद.

इंटरेस्टिंग :)

छान माहिती मिळाली.

वरील ४ आकडी आणि इतर आकडी अशा अनेक स्थिर संख्या आहेत. आणि प्रत्येकात नऊ हा आकडा येतोच येतो.
ह्या स्थिर संख्या आधिपासुनच होत्या. त्या वेगवेगळ्या गणन पधतीने पुढे आल्या एवढच.

रोचक!!!!

ह्याचे मुळ आहे दशमान पद्धतीत.
दोन संख्यांमधील मोठी आणि लहान संख्या ह्यांच्या एकत्रित आकड्यातील वजाबाकी ही नऊ येते.

उदा.
=२१-१२ = ९
=३२१-१२३=९

आणि अनंत.

हेच मुळ कारण आहे संख्या क्रमवार लिहिण्याबाबत.
आपण नकळत संख्यांना लहान आणि मोठे करतो.
जर सगळे अंक समान असतील तर लहान आणि मोठी संख्या निर्माणच होणार नाही आणि उत्तर शुन्य असेल.

वा.खू.सा.

(वाचन खूण साठवली आहे.)

जबरी

पण हे खुपच इलिमेन्टरी आहे ...पुढे गेल्यावर हे इतके सोप्पे रहात नाही ...

उदाहरणार्थ : ६१७४ हा चार आकडी नंबर झाला तसा तीन आकडी ४९५ =९५४-४५९ असा आहे हे विकी वरुन कलाले ...

मग पाच अंकी काय असेल ? सहा ? सात ?

विकी वर लिहिलय की ही प्रॉपर्टी फक्त तीन आकडी आचार आकडी नंबर मधेच होते पुढे होत नाही ... मग आता हे प्रुव्ह करणे आले ... ते सुध्दा केवळ पाच सहा सात नव्हे तर इन्फायनाईट आकडी संख्ये साठी ही ...

फर्मा ह्याने असाच एक प्रॉब्लेम http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem सतराव्या शतकात लिहुन ठेवला तो आत्ता १९९१ साली प्रुव्ह झाला ...

येवढा पेशन्स नाही बुवा आपल्याकडे :D ... नकोच ती नंबर थेरी ... आपण आपलं सोप्प काही तरी गणित करु :)

बाकी तुम्ही लेख लिहिलाय हा प्रचंड आवडला आहे ... गणितात उत्सुकता निर्माण करणारे असे लेख लिहिले गेले पाहिजेत राव ....
अवांतर :हा व्हिडियो पहा ... http://www.youtube.com/watch?v=7FnXgprKgSE केवळ अप्रतिम आहे :)

छान माहिती. याला काप्रेकरज् कॉन्स्टंट असे नाव आहे. विकी स्त्रोत

त्यांच्यावर विकी पान आहे. त्यांच्या संशोधनासंदर्भात खालील परीच्छेद तसाच देत आहे:

Working largely alone, Kaprekar discovered a number of results in number theory and described various properties of numbers. In addition to the Kaprekar constant and the Kaprekar numbers which were named after him, he also described self numbers or Devlali numbers, the Harshad numbers and Demlo numbers. He also constructed certain types of magic squares related to the Copernicus magic square.[3] Initially his ideas were not taken seriously by Indian mathematicians, and his results were published largely in low-level mathematics journals or privately published, but international fame arrived when Martin Gardner wrote about Kaprekar in his March 1975 column of Mathematical Games for Scientific American. Today his name is well-known and many other mathematicians have pursued the study of the properties he discovered.[1]

आश्चर्यकारक आहे ! प्रसिद्धिची साधने नसल्याने असे किती कापरेकर दुर्लक्षित राहिले असावेत काय?

मस्त आहे कि !!!

गणिती संकल्पनांविषयी कुतुहल निर्माण करणारा, विचार करायला लावणारा लेख.

दोन आकडी संख्यांसाठी असा आकडा नाही. प्रयत्न केल्यावर ताबडतोब नऊच्या पाढ्यातला आकडा मिळतो, आणि मग पुढच्या पायऱ्यांना नवाच्या पाढ्यातलेच आकडे पुन्हा पुन्हा मिळत जातात. त्यामुळे एका संख्येवर स्थिरावणं ही किती आकडी संख्या आहे त्यावर अवलंबून आहेसं दिसतं.

A>B>C>D
999*A + 99*B - 99*C - 999*D = (A or B or C or D)*1000 + (any one of the remaing letters)*100 + (one of the remaining letters)*10 + (remaining letter)*1 असं काहीतरी समीकरण येतं. ते सोडवायचं कसं याचा काहीच क्लू नाही.

शाळेत असतांना आजोबांनी आवर्जून नासिकच्या डी. आर. कापरेकर सरांच्या घरी नेलं होतं त्याची आठवण झाली. खूप गणिती गंमती-जंमती त्यांनी दाखवल्या होत्या, इतकंच आता आठवतं आहे, त्यात या स्थिरांकाविषयीही सांगितलं होतं. पण कालौघात त्यापलिकडे माझ्या पोतडीत काहीच राहिलं नाही हे माझं दुर्दैव!

लेख आवडला.
काल ऑफ लाइन वाचुन मुलाला बसवल होतं,अर्थात आयपॅड घेउन. तरीही कंटाळला. :(
मी मात्र पुन्हा पुन्हा विचार करत राह्यले.
मग आकडे सुटले अन कापरेकरांबद्दल विचार करत राह्यले. ८६ म्हणजे आपण असतानाच!

आमचे सर म्हाणायचे की गणितात अगणित गमतीजमती आहेत जोवर तो उपयोग समोर येत नाही, तोवर अशा गोष्टींचं मूल्य फक्त मनोरंजनात्मक राहतं आणि मग ते विसरायला होतं. हेच खरं आहे.
आणि शोध लावल्या नंतर ही अशी पुस्तके जरी निघाली तरी ती घेवुन अभ्यासणारेही कमी आहेत.
नऊच्या पाड्यातील सगळ्या अंकांची बेरीज ९च येते.
पहा
९=०=+९=९
१८=१+८=९
२७=२+७=९
...
शाळेत हे सांगितले जात नाही. कारण ते अवांतर आहे.

@ सुहास जी
ह्याचे मुळ आहे दशमान पद्धतीत.
दोन संख्यांमधील मोठी आणि लहान संख्या ह्यांच्या एकत्रित आकड्यातील वजाबाकी ही नऊ येते.

उदा.
=२१-१२ = ९
=३२१-१२३=९

आणि अनंत.
समजले नाही हे जरा विस्क्टुन सांगा ना.
म्हणजे ३२१-१२३=९ हे कसे काय?

"परफेक्ट नंबर्स्"ची अशीच गंमत आहे.

(१) ६ या आकड्याचे अवयव १, २, ३ आणि ६ असे आहेत. त्यापैकी ६ वगळता उरलेल्या सर्व अवयवांची बेरीज ६ होते.

(२) २८ या आकड्याचे अवयव १, २, ४, ७, १४ आणि २८ असे आहेत. त्यापैकी २८ वगळता उरलेल्या सर्व अवयवांची बेरीज २८ होते.

या सारखे अजून किती आकडे असतील?

यापुढील आकडा ४९६ आहे. ४९६ चे अवयव १, २, ४, ८, १६, ३१, ६२, १२४, २४८ आणि ४९६ आहेत. यापैकी ४९६ वगळता उरलेल्या सर्व अवयवांची बेरीज ४९६ येते.

मी काही काळापूर्वी हे आकडे शोधण्यासाठी एक सूत्र तयार केले होते. (२ चा 'क्ष - १' वा घात) गुणिले (२ चा 'क्ष' वा घात - १) केले की हा आकडा मिळतो. या सूत्रात 'क्ष' हा प्राईम नंबर असायला हवा.

म्हणजे क्ष = २, ३, ५, ७, ११, १३, १७, १९, ....

क्ष = २ असताना, परफेक्ट क्रमांक = (२ चा पहिला घात) * (२ चा दुसरा घात - १) = २ * (४ - १) = ६
क्ष = ३ असताना, परफेक्ट क्रमांक = (२ चा दुसरा घात) * (२ चा तिसरा घात - १) = ४ * (८ - १) = २८
क्ष = ५ असताना, परफेक्ट क्रमांक = (२ चा चौथा घात) * (२ चा पाचवा घात - १) = १६ * (३२ - १) = ४९६

यापुढील आकडा क्ष = ७ टाकल्यावर मिळेल.

कालांतराने गुगल शोधताना हेच सूत्र कोणीतरी आधीच शोधून ठेवल्याचे सापडले.

गणितात अशा अनेक गंमतीजमती आहेत.

अजून एक गंमत म्हणजे कोणताही नैसर्गिक क्रमांक हा जास्तीत जास्त ४ नैसर्गिक क्रमांकांच्या वर्गांच्या बेरजेच्या स्वरूपात मांडता येतो.

उदा.

९१ = ६४ + २५ + १ + १
१९३ = १६९ + २५ + ९
१९५ = १४४ + ४९ + १ + १

त्यामुळे कोणत्याही इररॅशनल लांबीचा रेषाखंड (उदा. १९५ चे वर्गमूळ इतकी लांबी असलेला रेषाखंड) हा जास्तीत जास्त ४ काटकोन त्रिकोण वापरून काढता येतो.

धागा आणि प्रतिक्रिया वाचुन डोके गरगरु लागले ...आपण गणितात एक नंबर ढ
पण असे सर मिळाले असते तर कदाचित जास्त आवड निर्माण झाली असती गणितात...कापरेकरांना सलाम!!

गणितात ढ असल्याने काहीपण समजण्यास मार्ग नाही ! ;)
बाकी खालच्या चौकटीतील आकड्यांची कशीही बेरीज करा, उत्तर = ७२ हेच येइल. ;)

{चित्र जालावरुन घेण्यात आले आहे.}

जरा अजुन माहितीत भर घालावीशी वाटते आहे.
तुम्ही 'मॅजिक स्क्वेअर ची माहिती दिली आहे, ज्या बद्धल मला आधी माहित नव्हते {अर्थात गणितात गती नसल्यानेच } परंतु या मुळे यंत्र आणि गणित यांचा संबंध स्पष्ट झाला शिवाय मॅजिक स्क्वेअर मधे बसणारेच यंत्र वरती दिले आहे.
आता टाळक्यात विचार होता की मॅजिक स्क्वेअर आणि यंत्र यांच्यातला संबंध किंवा इतर माहिती कशी मिळवायची ? अर्थातच आंतरजाल हाच आधार ! मग बराच शोध घेतला,अजुनही या विषयावर शोध चालु आहे आणि राहील.
आता एक दुवा इथे देतो. इथे गणित या विषयात रुची घेणारे बरेच जण आहेत हे वरील अनेक प्रतिसादातुन दिसुन आलेच आहे त्यांच्यासाठी यात काही विशेष सापडते का ते पहा.
An introduction to Yantra magic squares and Agrippa–type magic matrices
{हा McGill University च्या The Department of Mathematics and Statistics मधील पिडीएफचा दुवा आहे.} यात अनेक गणितांची समिकरणे दिली आहेत, आणि अर्थातच मला न-समजणारी. कोणाला शक्य झाल्यास हा दुवा वाचुन यातली काही माहिती अजुन स्पष्ट आणि सोप्या शब्दांमधे देता आली तर उत्तम !

माझ्यामते गणितातील सर्वात गहन असे २ सिध्दांत ....
१) युक्लीडचे "मुळसंख्या अनंत आहेत" ह्याचे प्रूफ
२) आर्किमिडीजचे "दोनचे वर्गमुळ ही इरॅशनल संख्या आहे" ह्याचे प्रूफ

च्यायला तब्बल २००० वर्षांपुर्वी ह्या लोकांना हे कसे काय सुचले हे आश्चर्यच आहे !

ब्यॅटमॅन , ज्याप्रमाणे ट्रॉयच्या युध्दात त्यांचे देव लोक सारखी ढवळा ढवळ करतात , तशी कोणत्या गणिताच्या देवाने धवळाढवळ करुन ह्यांना हे सिध्दांत सुचवले असतील काय :D

रंजक धागा आणि प्रतिसाद.

(१) ६७६ ही संख्या २ वेगवेगळ्या वर्गांच्या जोड्यांची बेरीज आहे. (५७६ + १००) आणि (६२५ + ४९). अशा अजून काही संख्या आहेत का?

(२) १७२९ ही संख्या २ वेगवेगळ्या घनांच्या जोड्यांची बेरीज आहे. (१७२८ + १) आणि (१००० + ७२९). अशा अजून काही संख्या आहेत का?

(३) अशा काही संख्या आहेत का ज्या वरीलप्रमाणे २ किंवा अधिक वेगवेगळ्या चौथा घात असलेल्या किंवा ५ वा घात असलेल्या किंवा . . . जोड्यांची बेरीज आहे?